Prueba de la fórmula de integración por partes de "orden superior".

Question

Demostrar que para las funciones $u(x)$ y $v(x)$ que son $n+1$ tiempos diferenciables en $[a, b]$ la siguiente igualdad se mantiene: $$\int_a^b uv^{(n+1)}dx = \left.\sum_{k=0}^n (-1)^ku^{(k)}v^{(n-k)}\right\vert_a^b + (-1)^{n+1}\int_a^bu^{(n+1)}v\;dx$$

He estado probando un caso más sencillo para la fórmula de integración por partes de "primer orden" para integrales propias, a saber: $$\int_a^b u\;dv = \left.uv\right|_a^b + \int_a^bv\;du$$ Lo hice considerando el siguiente diferencial: $$d(uv) = d(u)v + vd(u)$$ Y luego integrar ambas partes en $[a, b]$ : $$\int_a^bd(uv) = \int_a^bu\;d(v)+\int_a^bv\;d(u)\\ \left.uv\right|_a^b = \int_a^bu\;d(v)+\int_a^bv\;d(u)\\ \implies \int_a^bu\;d(v) = \left.uv\right|_a^b - \int_a^bv\;d(u)$$

A continuación, intenté utilizar el mismo enfoque para la fórmula de "orden superior", pero fracasé. No es difícil demostrarlo: $$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n {n\choose k} u^{(n-k)}v^{(k)}$$ Donde $(f(x))^{(n)}$ denota $n$ -derivada de $f(x)$ .

Creo que esta es la idea básica de la prueba, pero desgraciadamente no veo cómo proceder a partir de aquí. Agradecería cualquier ayuda con esta cuestión. Gracias.

Answer 1

Se puede demostrar de forma bastante sencilla por inducción. Sabemos que el caso base, para $1$ iteración de la integración por partes (IBP) tal y como la ha probado. Así que asumiendo $\displaystyle \int uv^{(n+1)} = \sum_{k=0}^n (-1)^ku^{(k)}v^{(n-k)} + (-1)^{n+1}\int_a^bu^{(n+1)}v$ para algunos $n\in\mathbb{N_0}$ Tendríamos

$$\begin{align} \int uv^{(n+\color{red}{2})} &=uv^{(n+1)}-\int u'v^{(n+1)} \\ &=uv^{(n+1)}-\sum_{k=0}^n (-1)^k(u')^{(k)}v^{(n-k)} - (-1)^{n+1}\int_a^b(u')^{(n+1)}v \\ &=\left[uv^{(n+1)}-u^{(1)}v^{(n)}+\ldots+(-1)^{n+1}u^{(n+1)}v^{(0)}\right] + (-1)^{n+2}\int_a^bu^{(n+2)}v \\ &=\sum_{k=0}^{n+1} (-1)^ku^{(k)}v^{(n-k)} + (-1)^{n+2}\int_a^bu^{(n+2)}v\end{align}$$

Por lo tanto, es cierto para todos $n\in\mathbb{N}_0$ .