Demostrar que dos grupos son isomorfos.

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano, y sea $f:G\rightarrow \mathbb{Z}$ sea un epimorfismo (homomorfismo sobreyectivo).
Demostrar que existe un subgrupo $H\subseteq G$ tal que $H\cong \mathbb{Z}$ y $G\cong H\times (\ker f)$ .

Mi intento hasta ahora:
Dejemos que $h\in G$ sea el elemento para el que $f(h)=1_{\mathbb{Z}}$ y considerar el subgrupo $H=\langle h\rangle$ de $G$ .
Ahora, quiero argumentar que $H\cong \mathbb{Z}$ . sabemos que dos grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos. ¿puedo utilizar este hecho de alguna manera? Aunque $H$ y $\mathbb{Z}$ son ambos cíclicos, obviamente $\mathbb{Z}$ es de orden infinito, entonces puedo decir lo mismo de $H$ ¿y concluir que estos dos son isomorfos por eso?
Ni siquiera estoy seguro $H$ debe ser infinito...

Answer 1

Como mencionó gaoxinge, la forma "correcta" de ver este problema es una secuencia exacta corta. Por supuesto, también podemos hacerlo de forma elemental:

Si $H=\langle h\rangle\le G$ es finito, $n\, h=0_G$ para algunos $n\ge 1$ . Así, $$ n = n\cdot 1_{\mathbb Z} = n\cdot f(h) = f(n\, h) = f(0_G) = 0_{\mathbb Z}, $$ que es una contradicción. Así que $H$ es de hecho infinito e isomorfo a $\mathbb Z$ .

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

Este problema se refiere a la propiedad dividida de una secuencia corta exacta.

Una pista: $0\rightarrow\mathrm{ker}(f)\rightarrow{G}\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow{0}$ es debe spilit porque $\mathbb{Z}$ es un grupo abeliano libre.