Calcular la cantidad de trabajo realizado para reunir una carga neta en una esfera

Question

He estado repasando la electrostática con un examen antiguo y me he encontrado con esta pregunta:

Calcule la cantidad de trabajo necesaria para montar una carga neta de $+Q$ en un conductor esférico de radio $R$ . Si un cargo adicional de $-Q$ se montaran en un conductor esférico concéntrico de radio $R+a$ ¿qué cantidad de trabajo requeriría todo el proceso?

Ahora bien, la primera parte no es tan difícil, simplemente la hacemos:

$$\vec E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \hat r \, \text{(From Gauss's Law)}$$

$$\begin{align} W & = \frac{\epsilon_0}{2} \int E^2 \, d\tau \\ & = \left(\frac{\epsilon_0}{2}\right) \left(\frac{Q^2}{(4 \pi \epsilon_0)^2}\right) \int d \Omega \int_R^{\infty} \frac{1}{R'^{4}} R'^{2} dR'\\ & = \frac{4\pi Q^2}{32 \pi^2 \epsilon_0} \frac{1}{R} \\ &= \frac{Q^2}{8 \pi \epsilon_0 R} \\ \end{align}$$

Pero para la segunda parte, según una solución que me dio un amigo, lo único que hay que hacer para calcular el trabajo total es hacer

$$\begin{align} W_{tot} & = \frac{\epsilon_0}{2} \int E^2 d \tau \\ & = \frac{4 \pi Q^2}{32 \pi^2 \epsilon_0} \int_R^{R+a} \frac{1}{R'^2} dR' \\ & = \frac{Q^2}{8 \pi \epsilon_0} \left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+a}\right) \\ \end{align}$$

Pero según la ecuación $(2.47)$ de Griffiths, el trabajo total debería ser igual:

$$\begin{align} W_{tot} & = \frac{\epsilon_0}{2} \int (E_1+E_2)^2 d\tau \\ & = \frac{epsilon_0}{2} \int (E_1^2 + E_2^2 + 2E_1 \cdot E_2) d\tau \\ & = W_1 + W_2 + \epsilon_0 \int E_1 \cdot E_2 d \tau \\ \end{align}$$

En este caso $W_1$ es el trabajo necesario para una esfera de radio $R$ como se ha mostrado anteriormente, y $W_2$ es el trabajo necesario para una esfera de radio $R+a$ . ¿Es correcto el primer método?

Answer 1

Respuesta: Los dos métodos son correctos.

Como he sugerido en el área de comentarios, el trabajo total calculado mediante el primer método debería ser $$W_{tot}=\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0}(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+a}), $$ desde $\int \frac{1}{r^2}dr=-\frac{1}{r}+\text{Constant}$ .

A continuación, calcularemos el trabajo total por el segundo método, es decir, la ecuación $(2.47)$ de Griffiths. Como se indica en el problema, tenemos \begin{align} \mathbf{E}_1 & =\frac 1 {4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\hat{\mathbf{r}},\ \text{while}\ r\ge R\\ \mathbf{E}_2 & =-\frac 1 {4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\hat{\mathbf{r}},\ \text{while}\ r\ge R+a \end{align}

Así que, \begin{align} E_1^2 & =\frac{Q^2}{16\pi^2\epsilon_0^2r^4}\\ E_2^2 & =\frac{Q^2}{16\pi^2\epsilon_0^2r^4}\\ E_1\cdot E_2 & =-\frac{Q^2}{16\pi^2\epsilon_0^2r^4} \end{align}

Y \begin{align} W_1 & =\frac{\epsilon_0}{2}\int E_1^2d\tau\\ & =\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0}\int_R^\infty\frac{1}{r^2}dr\\ & =\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0R} \end{align} Utilizando el mismo método, obtenemos $W_2$ como un tonto, $$ W_2=\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0(R+a)} $$

Por último, el término cruzado es que \begin{align} \epsilon_0 \int \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2 d\tau & =-\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0}\int_{R+a}^\infty \frac{1}{r^2}dr\\ & =-\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0}\frac{2}{R+a} \end{align}

Luego los sumamos todos, tenemos, \begin{align} W_{tot} & =W_1+W_2+\epsilon_0\int \mathbf{E}_1\cdot\mathbf{E}_2d\tau \\ & =\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0}\frac{1}{R}+\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0}\frac{1}{R+a}-\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0}\frac{2}{R+a}\\ & =\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0}(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+a}) \end{align}

Conclusión: Los resultados son los mismos por dos métodos.En el primer método, cuando escribimos la fórmula de $W_{tot}$ el campo eléctrico $E$ es el campo final después de utilizar el príncipe de superposición. En el segundo, también usamos la superposición princeple, pero la escribimos en la forma de $W$ explícitamente. Quiero decir que los dos métodos son iguales, pero tienen formas diferentes.