¿Existe una forma rigurosa de describir $g(x)$ deformándose continuamente en $h(x)$ y ¿podría ser útil?

Question

Una cosa que me molesta de los mapeos es que parecen transportar instantáneamente puntos de un espacio a otro. Me parece que debería haber un espacio de caminos únicos y no intersectados que cada uno de los puntos recorra para llegar a su nuevo destino. ¿Alguien está de acuerdo?

Por ejemplo, considere un mapeo $F:\Bbb R^2 \to \Bbb R^2$ con $F(x,y)=(e^x,e^y).$ Considere la función $g(x)=\frac{1}{x}$ integrado en la norma $x-y$ sistema cartesiano. Comenzamos con $g$ y por arte de magia conseguirá $h(x)=e^{\frac{1}{\log(x)}}$ sin información sobre cómo $g$ se deformó en $h!$ Tal vez es sólo la perspectiva, pero me parece que en cada punto en el tiempo debemos ser capaces de rastrear las deformaciones como $g$ se transforma en $h.$

Hice un dibujo con los caminos que creo que debe seguir cada uno de los puntos al comenzar con $g$ y pasar a ser $h.$

El camino del límite superior es $y=e^x$ y el camino del límite inferior es $y=\log(x).$ El camino central es $y=x.$

Obviamente no hay suficiente rigor aquí, pero he intentado hacerlo lo mejor posible con lo que sé. Mi pregunta es:

¿Existe una forma rigurosa de describir $g$ deformándose continuamente en $h$ y ¿podría ser útil?

Answer 1

Parece que estás buscando la noción de homotopía .

En términos generales, la idea detrás de la homotopía es que no sólo estamos interesados en mapas continuos individuales en un espacio $X$ sino el manipulación de tales mapas. Por ejemplo, la imagen que has dibujado sugiere que deberíamos ser capaces de tomar el mapa $$\alpha:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}: x\mapsto e^x$$ y "deformarlo" en el mapa $$\beta:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}: x\mapsto \ln(x),$$ por ejemplo golpeando el mapa $\gamma:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:x\mapsto x$ a lo largo del camino.

El truco para precisar esta intuición es pensar en los mapas desde un espacio para productos . En concreto, vamos a pensar en "un mapa continuo de $A$ a $B$ que se deforman con el tiempo de $t=0$ a $t=1$ " (digamos) como "un mapa de $A\times [0,1]$ a $B$ ." A la inversa, dado un mapa continuo $m:A\times [0,1]\rightarrow B$ para cada $t\in[0,1]$ obtenemos el "mapa de instantáneas" $m_t:A\rightarrow B: a\mapsto m(a,t)$ y pensamos en $m_0$ y $m_1$ como los mapas "de partida" y "de llegada".

Podemos entonces, por ejemplo, hablar de cuando un mapa continuo $f:A\rightarrow B$ puede "deformarse" en otro mapa continuo $g:A\rightarrow B$ - es decir, cuando existe un mapa continuo $m:A\times[0,1]\rightarrow B$ tal que $m_0=f$ y $m_1=g$ . Cuando tal $m$ existe decimos que $f$ y $g$ sont homotópico .

• Por ejemplo, la relación de homotopía no es muy interesante en $\mathbb{R}^2$ (o más generalmente $\mathbb{R}^n$ ). En concreto, supongamos que tenemos dos mapas $f,g:X\rightarrow\mathbb{R}^2$ . A continuación, considere el mapa $$m: X\times[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^2: m(x,t)=tg(x)+(1-t)f(x).$$ Este $m$ se garantiza que es una homotopía entre $f$ y $g$ . Por otro lado, los espacios más complicados hacen las cosas más interesantes. Considere el espacio $Y=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ , $f: S^1\rightarrow Y$ el mapa habitual del círculo al plano, y $g: S^1\rightarrow Y$ el mapa constante que envía todo a $(17,42)$ . Son $f$ y $g$ ¿homotopía?

Y hay mucho más que decir. Es especialmente interesante el caso en el que $A$ es el intervalo unitario $[0,1]$ y restringimos la atención a aquellas homotopías $m:[0,1]\times[0,1]\rightarrow B$ que "mantienen los puntos finales fijos", es decir, que satisfacen $m(0,0)=m(0,x)$ y $m(1,0)=m(1,x)$ para todos $x\in[0,1]$ - estos $m$ s son los homotopías de trayectoria y llevar a la noción de la grupo fundamental(oid) . La noción de homotopía también conduce a una noción de similitud de espacios , a saber equivalencia de homotopía . La página wiki tiene más información sobre el tema.