Deseo aprender el análisis no estándar. ¿Hay alguna buena recomendación de libros? Estoy familiarizado con el sistema ZFC, y aprendí el análisis a la manera clásica. He encontrado algunos textos de licenciatura, pero son demasiado ampulosos.
Si hay aplicaciones al análisis complejo o funcional, sería genial.
Gracias de antemano.
Este suena como lo que quieres:
Arkeryd, Cutland y Henson: Nonstandard Analysis, Theory and Applications.
Hice un curso de licenciatura que seguía (en parte) este libro - primero lo acompañé con el de Goldblatt, que está escrito de forma más amigable, para cogerle el tranquillo al tema, y luego cambié a éste, cuando también empecé a encontrar a Goldblatt demasiado "verboso". Lo encontré muy fácil de leer.
Cutland ha producido otros escritos agradables y también hay Loeb, Wolff: Análisis no estándar para el matemático que trabaja , que no he leído pero que sigue un temario muy similar a un ritmo muy parecido, según el índice.
Que lo disfrutes.
El libro de Robert Nonstandard Analysis (Dover Publications) es donde aprendí el nsa - presenta (de manera un poco informal) la teoría de conjuntos IST de Nelson, cubre una selección de análisis real básico de manera n-s, y luego examina algunas aplicaciones. Hay que tener cuidado con algunas erratas en la segunda mitad del libro, pero es corto y fácil de leer. Sin embargo, no le enseñará ninguna teoría de modelos.
Hola, acabo de echar un vistazo a tu página de MathOverflow y he visto que estás interesado en "argumentos espaciales y visuales". Así que te digo algo más (que no has pedido):
También existe otra versión de análisis con nilpotente infinitesimales, es decir, elementos que no son cero, pero alguna potencia de los cuales es cero. En la lógica clásica esto contradice los axiomas de campo, pero en la lógica intuicionista se puede hacer. J.L. Bell Cartilla de Anlisis Infinitesimal desarrolla el análisis básico sobre estas bases, asumiendo (axiomáticamente) que se tiene algo así como los números reales con nilpotentes. Las demostraciones se vuelven mucho más fáciles incluso que en el Análisis No Estándar. Sólo en un apéndice aborda la existencia de modelos para sus axiomas - viven en topos.
Como se expone muy bien en el prefacio de "Models for Smooth Infinitesimal Analysis" de Moerdijk/Reyes, son estos infinitesimales los que utilizaron (implícitamente) los geómetras clásicos como Cartan, y los que utilizan (implícitamente) los físicos hasta hoy. Ilustran su punto con una prueba visual del teorema de Stokes utilizando nilpotentes.
En los entornos de Moerdijk/Reyes (que son ciertas topos) también existen números reales que combinan los dos tipos de infinitesimales, nilpotentes e invertibles.
Primero aprendí el material del propio libro de Robinson, titulado simplemente Análisis no estándar que me gustó bastante. Unos años más tarde, leí el libro de Goldblatt Conferencias sobre los hiperreales (enlace al índice del libro), que recomiendo encarecidamente. Una vez leído, recomiendo encarecidamente Campos no arquimédicos y expansiones asintóticas de Robinson y Lightstone, que parece estar seriamente infravalorado [sólo unos pocos teóricos del modelo parecen haberlo desenterrado recientemente]; no es la mejor introducción al análisis no estándar, pero para mí es la mejor introducción a sus conexiones con el resto del análisis.
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