Búsqueda de una función de Lyapunov para un modelo SIRS

Question

Estoy tratando de demostrar la estabilidad global del equilibrio endémico $$\left(\frac{\nu}{\beta},\gamma\frac{N-(\nu/\beta)}{\nu+\gamma}\right)$$ de un modelo SIRS $$S'=-\beta SI+\gamma(N-S-I) \qquad I'=\beta SI- \nu I$$

He estado buscando una función de Lyapunov que pueda ayudarme, pero no he encontrado ninguna que funcione con este sistema específico. ¿Conoces alguna? O, ¿puedes sugerir otra manera de probar esto?

Answer 1

Tener en cuenta algunos aspectos de las situaciones concretas que el SIRS está modelando podría ayudar. En primer lugar, las funciones $S$ , $I$ y $R$ medir tamaños de poblaciones tales que $S+I+R=N$ Por lo tanto, si el modelo tuviera sentido, el dominio $$D=\{(S,I)\mid S>0,I>0,S+I<N\}\subseteq\mathbb R^2$$ debería ser estable. No es de extrañar, $D$ es efectivamente estable por la dinámica, como se ve al observar el campo vectorial que da $(S',I')$ en el límite de $D$ . A saber, este campo vectorial apunta a $D$ en las líneas $[S>0,I>0,S+I=N]$ y $[S=0,0<I<N]$ y la línea $[I=0,0<S<N]$ que completa el límite de $D$ está hecho de soluciones.

El punto de equilibrio no trivial es $$S^*=\frac\nu\beta\qquad I^*=\frac\gamma{\nu+\gamma}(N-S^*)$$ y, siempre que la condición $$\nu<N\beta$$ se mantiene, $(S^*,I^*)$ está en $D$ . Además, la dinámica puede reescribirse como $$S'=-(\beta I+\gamma) (S-S^*)-(\nu+\gamma)(I- I^*)\qquad I'=\beta I(S-S^*)$$ Partiendo de estas identidades, se puede demostrar sin demasiado esfuerzo que

$$V=S-(S^*+S_*)\ln(S+S_*)+I-I^*\ln I\qquad\text{with}\qquad S_*=\frac\gamma\beta$$

rinde $$V'=-(\beta I^*+\gamma)\frac{(S-S^*)^2}{S+S_*}\leqslant0$$ por lo tanto, de hecho, $(S^*,I^*)$ es el límite de cada solución que comienza en $D$ .

Obsérvese que hemos excluido cuidadosamente el límite de $D$ del conjunto de condiciones iniciales admisibles, para evitar "ver" el otro punto fijo $(S,I)=(N,0)$ que se repele excepto a lo largo de la línea $I=0$ . Pero también se podría utilizar desde el principio el dominio $$\bar D=\{(S,I)\mid S\geqslant0,I\geqslant0,S+I\leqslant N\}\subseteq\mathbb R^2$$ entonces las conclusiones son que $(S,I)\to(S^*,I^*)$ por cada $(S_0,I_0)$ en $\bar D$ tal que $I_0\ne0$ y que $(S,I)\to(N,0)$ por cada $(S_0,0)$ en $\bar D$ .

Answer 2

Como tienes un sistema bidimensional podrías usar el Teorema de Markus-Yamabe .

En primer lugar, desplaza tu ecuación de forma que el punto de equilibrio esté en $(0,0).$ . Sea $\dot{x}=f(x)$ en el que $x\in \mathbb{R}^2$ . A continuación, determine el jacobiano de $f(x)$ . Si los valores propios del jacobiano tienen una parte real estrictamente negativa para cada $x\in\mathbb{R}^2$ entonces $(0,0)$ es un punto de equilibrio globalmente asintótico.