una variedad difeomorfa (?) a SO(3)

Question

Consideremos el conjunto de todos los pares $(\boldsymbol{n},\boldsymbol{v})$ de vectores en $\mathbb{R}^3$ tal que $\boldsymbol{n}$ es un vector en la esfera unitaria centrado en el origen y $\boldsymbol{v}$ es un vector unitario tangente a la esfera en el punto $\boldsymbol{n}.$

i. Introducir una estructura de colector liso en este conjunto.

ii. Demostrar que este colector es difeomorfo al grupo $SO(3).$

A mi entender, este colector es $S^2 \times S^1,$ que da un parametrización de $SO(3),$ pero está lejos de ser un difeomorfismo, es decir, el ejercicio es falso: ¿estás de acuerdo?

Answer 1

El ejercicio está bien. El colector descrito en el ejercicio se llama haz tangente unitario de $S^2$ y no es difeomorfo a $S^2 \times S^1$ [Una forma de ver esto es observar que se puede producir un campo vectorial que no desaparece en ninguna parte en $S^2$ si fueran difeomorfos. Esto es imposible por la teorema de la bola peluda .]

Aquí tienes un esquema un poco más detallado:

Por definición, el conjunto $M$ se da como un subconjunto de $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \ni (\boldsymbol{n}, \boldsymbol{v})$ con sujeción a las ecuaciones $$ \begin{align*} 1 & = \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{n} && \boldsymbol{n} \text{ is a unit vector}\\ 1 & = \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{v} && \boldsymbol{v} \text{ is a unit vector}\\ 0 & = \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{v} && \boldsymbol{n} \text{ is perpendicular to }\boldsymbol{v}. \end{align*} $$ ¿Puede utilizar esta información para convertir $M$ en un colector? (funciones implícitas, valores regulares, etc)

El mapa $M \to SO(3)$ dado por $(\boldsymbol{n},\boldsymbol{v}) \mapsto [\boldsymbol{n},\boldsymbol{v},\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{v}]$ es bien definida, suave y biyectiva. Se puede exhibir una inversa lisa explícita, por lo que $M$ y $SO(3)$ son difeomorfos.

Answer 2

Sí, estás viendo el colector de vectores tangentes unitarios de $S^2$ . Puedes ir por el otro lado: $SO(3)$ actúa de forma suave y transitoria sobre $S^2$ además, también actúa de forma suave y transitoria sobre su colector $M$ . Pero el subgrupo estabilizador de un punto es trivial, por lo que el mapa $SO(3)\to M$ es un difeomorfismo.