La Geometría de los Esquemas de Eisenbud y Harris prueba la proposición I-18

Question

Parece que hay un error en la prueba de la propuesta I-18. La primera ecuación del recuadro (línea 7) de la página 20 sólo es válida en $X_{f_a f_b}$ . Pero se utiliza en la línea 15, donde tiene que mantener en $X_{f_b}$ . Esto parece invalidar la prueba para anillos con divisores cero.

Como ejemplo, utilice el esquema del Ejercicio I-20(b). Tome $f_a$ para ser la imagen (coset) de $x$ en $\mathbb{C}[x]/(x^2-x)$ y $f_b$ el imagen de $x-1$ . Entonces $f_a f_b = 0$ , $X = X_{f_a} \cup X_{f_b}$ y $X_{f_a} \cap X_{f_b} = X_{f_a f_b} = \varnothing$ . Así que para cualquier $g_a \in R_{f_a}$ y $g_b \in R_{f_b}$ debe haber un $g \in R$ que se convierte en $g_a$ en $X_{f_a}$ y $g_b$ en $X_{f_b}$ . Para ser más específicos, tome $g_a = 1/f_a$ y $g_b = 1/f_b$ . Entonces $g$ es la imagen de $2x-1$ en $\mathbb{C}[x]/(x^2-x)$ pero la prueba de la Propuesta I-18 no la produce. ¿Estoy confundido, o la prueba es incorrecta?

Answer 1

No hay ningún error: los extremos de la ecuación en la línea 7 (es decir $f_b^Nh_a = f_a^Nh_b$ ) están destinados a mantener en $R$ . La cuestión es que $h_a, h_b$ y $N$ debe ser elegido para que todas las igualdades intermedias se mantengan también. Así, en su ejemplo $R = \mathbb{C}[x]/(x^2-x)$ con $f_a = x$ , $f_b = x - 1$ , $g_a = 1/f_a$ , $g_b = 1/f_b$ , tomando $h_a = 1 = h_b$ no funcionará, ya que no satisface $f_b^N h_a = (f_af_b)^N g_a$ en $R$ .

De hecho, vemos que la forma más sencilla de satisfacer la ecuación anterior es tomando $h_a = f_a$ , $h_b = f_b$ . Así, $N = 2$ (nota que $f_a$ es idempotente, pero $f_b$ no es, como $f_b^2 = -f_b$ ), que da como resultado $e_a = 1$ , $e_b = 1$ Así que $g = e_ah_a + e_bh_b = f_a + f_b = 2x-1$ y de hecho $f_b^2g = f_b^3 = f_b = f_b^2g_b$ en $R_{f_b}$ (y de forma similar en $R_{f_a}$ ).

Answer 2

La igualdad de la línea 7 se mantiene en el anillo $R$ es decir, en todo el espacio $X$ . La cuestión es que por definición de una localización, si $x$ y $y$ son elementos en $R$ y sus imágenes en $R_f$ son iguales si y sólo si $f^Na = f^Nb$ en $R$ . Así que esa igualdad es verdadera porque las imágenes de $g_a$ y $g_b$ son iguales en $R_{f_af_b}$ pero la propia igualdad está en $R$ . Así que una vez que la igualdad se mantiene en $R$ también se mantiene en $R_{f_a}$ y $R_{f_b}$ .

No hay ningún problema en tu ejemplo. Deja que $\mathbb{C}[x]/(x^2 - x) = R$ . Entonces, por el teorema chino del resto, $R = \mathbb{C}[x]/(x) \times \mathbb{C}[x]/(x - 1) = R_1 \times R_2$ . Tenemos $R_x = R_2$ y $R_{x-1} = R_1$ siendo los mapas naturales los mismos que las proyecciones. Entonces el enunciado de la proposición es simplemente que cualquier $g_1 \in R_1$ y $g_2 \in R_2$ son las imágenes de $(g_1,g_2) \in R_1 \times R_2$ que por el teorema del resto chino podemos tomar como $g \in R$ .

Geométricamente, lo que ocurre aquí es que $R$ corresponde a dos puntos distintos en $\mathbb{A}^1$ y la afirmación es sólo que una función en $R$ está determinada unívocamente por su valor en cada uno de los dos puntos y que, a la inversa, si elegimos valores en cada punto podemos encontrar una función en $R$ que toma esos valores en los puntos porque los puntos son dos componentes conectados separados. En este caso la partición de la unidad en la prueba de la proposición es $x - (x-1)$ .