Base contable/no contable del espacio vectorial

Question

He encontrado este ejercicio en el libro de álgebra, en el capítulo que trata de las dimensiones de los espacios vectoriales.

Demostrar que la base del campo de los números reales $\mathbb R$ como vector sobre el campo de los números racionales $\mathbb Q$ no es contable.

El libro no cubre los términos "contable" e "incontable" y no soy capaz de poner la información de la web sobre estos temas en algo útil para este ejercicio.

actualizado:

Después de recibir una gran respuesta de Asaf Karagila, que desgraciadamente no puedo comprender del todo, he llegado a mi propia idea de prueba.

Contemos todos los números reales en esta situación. Tenemos una base contable, y cualquier vector del espacio vectorial $\mathbb R$ sólo puede tener un subconjunto finito de coeficientes en él no iguales a cero. Nosotros puede elegir diferentes combinaciones de coeficientes finitos que no serán iguales a cero con un número contable de formas (hecho III de Asaf Karagila). Por lo tanto, ya tenemos un número contable de formas diferentes de elegir un solo vector. Pero además, en cada conjunto finito de coeficientes elegido, cada uno de ellos será diferente de un vector a otro. Cada coeficiente puede ser un valor diferente tomado de un número contable $\mathbb Q$ y tenemos un número finito de coeficientes para cualquier conjunto finito elegido anteriormente. En resumen, tenemos un número contable de formas de elegir el conjunto de coeficientes para cualquier vector, y un número finito de formas secuenciales contables de elegir valores concretos para cada coeficiente en la representación base del vector. Tenemos el producto cartesiano de (finito + 1) = conjuntos contables finitos, que vuelve a ser un conjunto contable (propiedad del conjunto contable). Por lo tanto, concluimos que hay un número contable de números reales diferentes, y eso es incorrecto, por lo que la base del espacio vectorial $\mathbb R$ no puede ser contable.

Sin embargo, tengo muchas dudas al respecto. Por favor, corríjanme y señalen las partes poco claras.

Answer 1

Definición: $A$ es un contable si existe una función $f\colon A\to\mathbb N$ que es inyectiva. Si $A$ no es contable decimos que $A$ es incontable .

Hecho I: El conjunto $\mathbb Q$ de los números racionales es contable.

Hecho II: El conjunto de los números reales, $\mathbb R$ es incontable. Además, existe una biyección entre el conjunto $\mathbb R$ y $\{A\mid A\subseteq\mathbb N\}$ y la colección de secuencias de números naturales.

Hecho III: Si $A$ es contable entonces el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $A$ también es contable.

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Supongamos que $\mathbb R$ era de una dimensión contable sobre $\mathbb Q$ esto significa que había un conjunto contable $\{x_i\mid i\in\mathbb N\}$ tal que todo número real es una combinación lineal sobre $\mathbb Q$ de un conjunto finito de $x_i$ 's.

Sin embargo, la colección de subconjuntos finitos de un conjunto contable es contable. En particular, tenemos que el conjunto de un número real contable sobre $\mathbb Q$ es contable. Los números reales, sin embargo, son incontables. Por lo tanto, ¡la dimensión no puede ser contable!

Answer 2

Lo pongo como respuesta porque es demasiado largo para un comentario. He pensado que puede ser interesante que sepas que la base no sólo es incontable, sino que tiene cardinalidad $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ .

Si busca "base hamel" "R sobre Q" en google o libros de google probablemente encontrará muchas pruebas de que la base es incontable y, además, de que la cardinalidad es $\mathfrak c$ .

Por ejemplo:

• Prueba de pregunte a un algebrista por Henno Brandsma, enlace
• Se menciona en la obra de Cieselski Teoría de conjuntos para el matemático en activo, p.111 .

Una prueba detallada de que la cardinalidad de cada base de Hamel de $\mathbb R$ en $\mathbb Q$ es $\mathfrak c$ se da en Teorema 4.2.3 en el libro de Kuczma Una introducción a la teoría de las ecuaciones y desigualdades funcionales.