El conjunto de potencias de todo conjunto infinito es incontable. Un conjunto infinito (como elemento del conjunto potencia) no puede definirse escribiendo la secuencia infinita de sus elementos, sino sólo mediante una fórmula finita. Por la ordenación léxica de las fórmulas finitas vemos que el conjunto de fórmulas finitas es contable. Por tanto, es imposible definir todos los elementos del conjunto de potencias incontables. El axioma del conjunto de potencias parece dudoso. Por eso mi pregunta.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esta es una pregunta real.
No eres el único que encuentra dudoso el axioma del conjunto de fuerzas. En la época de las grandes controversias fundacionales, Russell y Weyl expresaron una opinión similar. Ahora se sabe, gracias a los trabajos de Weyl, Wang, Feferman, la escuela de matemática inversa y otros, que la mayor parte de las matemáticas convencionales pueden desarrollarse sin conjuntos de potencias. Se pueden tratar eficazmente objetos como $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $\mathbb{R}$ como clases propias.
Tal vez le interese ver mi artículo sobre "Conceptualismo matemático" en arxiv:math/0509246. Aquí hay un enlace directo: http://arxiv.org/pdf/math/0509246.pdf
thedeeno
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Varias teorías estándar intensamente estudiadas por los teóricos de conjuntos no tienen el axioma del conjunto de potencia.
Una de ellas es la teoría ZFC sin el axioma del conjunto de potencias, que se suele denominar $\text{ZFC}^-$ . Hay que tener cuidado con la axiomatización adecuada de esta teoría, como discutimos en ¿Qué es la teoría ZFC sin el conjunto de poderes?, V. Gitman, J.D. Hamkins, T. Johnstone el punto principal es que uno debe usar colección+separación y no sólo reemplazo, ya que estos ya no son equivalentes sin el axioma del conjunto de potencia.
Parte del atractivo de $\text{ZFC}^-$ , que es mucho más fuerte que la teoría KP que se discute a continuación, pero todavía carece de conjunto de potencia, es una abundancia de modelos naturales, como el siguiente:
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HC, el universo de conjuntos hereditarios contables. Este es el país de lo contable, donde todo es contable. Los conjuntos de HC son precisamente aquellos conjuntos que son contables y que sólo tienen miembros y miembros de miembros contables, etc. En HC se pueden llevar a cabo bastantes matemáticas de forma fructífera.
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De manera más general, $H_{\kappa^+}$ el universo de los conjuntos de tamaño hereditario a lo sumo $\kappa$ . Este universo satisface $\text{ZFC}^-$ pero puede tener algunos conjuntos de potencias, es decir, siempre que el conjunto de potencias tenga un tamaño máximo de $\kappa$ . Pero mientras tanto, hay un cardenal más grande en esta univese, $\kappa$ y el conjunto de poderes de $\kappa$ no existe.
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De manera más general, $H_\delta$ para cualquier cardenal regular $\delta$ . Cuando $\delta$ es un cardinal inaccesible, esto es lo mismo que $V_\delta$ , el segmento inicial de rango del universo en la jerarquía de von Neumann, y en este caso es un modelo de ZFC y un universo de Grothendieck.
Estos modelos y otros modelos de $\text{ZFC}^-$ se utilizan en argumentos en toda la teoría de conjuntos, desde ultrapoderes iterados en cardinales grandes hasta su uso en axiomas de forzamiento y en otros lugares.
Otra teoría comúnmente estudiada sin el axioma del conjunto de potencia es Teoría de conjuntos de Kripke-Platek KP que es una teoría de conjuntos muy débil en el corazón de la materia conocida como teoría de conjuntos admisibles, en la que se puede realizar una enorme cantidad de matemáticas clásicas. Existen numerosos modelos naturales de KP, como:
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El universo hiperaritmético $L_{\omega_1^{CK}}$ de conjuntos codificados por relaciones hiperaritméticas bien fundadas sobre los números naturales. Este es el conjunto admisible más pequeño, el modelo transitivo más pequeño de KP. Una cosa interesante de este mundo es que cada ordinal no sólo es hiperaritmético, sino realmente computable.
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Hay muchos otros ordinales admisibles $\alpha$ , ordinales para los que $L_\alpha\models$ KP.
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Se puede relativizar el concepto de admisibilidad a los oráculos $x$ , formando $\omega_1^x$ el ordinal menos admisible en $x$ para que $L_{\omega_1^x}[x]$ es el modelo más pequeño de KP que contiene $x$ .
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Los universos $L_\lambda$ y $L_\zeta$ que surgen en la teoría de máquinas de Turing de tiempo infinito , donde $L_\lambda$ es la colección de conjuntos codificados por una relación bien fundada y escribible en tiempo infinito sobre $\omega$ y $L_\zeta$ son los conjuntos codificados por una relación bien fundada de tiempo infinito eventualmente escribible. Estos universos satisfacen ambos refuerzos naturales de KP, pero no el axioma del conjunto de potencia.
Y hay muchas otras teorías de conjuntos sin los axiomas de conjuntos de potencia, incluyendo varios reforzamientos de KP que aún carecen del axioma de conjuntos de potencia y tienen modelos naturales que se usan para varios propósitos.
Todos estos modelos se estudian intensamente, y los teóricos de los conjuntos prestan una atención detallada a lo que es o no es posible conseguir en los modelos, dependiendo de su fuerza. El quid de muchos argumentos es si el modelo dado es lo suficientemente fuerte como para llevar a cabo una determinada construcción teórica de conjuntos o no. Por ejemplo, a menudo se presta atención a los detalles de una construcción matemática para averiguar si se puede realizar utilizando sólo $\Sigma_1$ -en lugar de, por ejemplo, $\Sigma_2$ -collection, para saber si se puede realizar o no dentro de uno de estos modelos.
Permítanme añadir que, aunque los teóricos de conjuntos prestan una enorme atención a estas teorías de conjuntos sin el axioma de potencia, la razón no suele ser la duda sobre la verdad del axioma de conjuntos de potencia, sino que es simplemente que quieren emprender ciertas construcciones dentro de estos modelos naturales, por lo que necesitan saber si estos modelos son lo suficientemente fuertes para emprender esa construcción o no.
Así que uno puede estar interesado en la teoría de conjuntos sin el axioma del conjunto de potencia sin tener dudas sobre ese axioma. Estudiamos las teorías de conjuntos sin el conjunto de potencias, aunque lo mantenemos en nuestra teoría principal de fondo, porque queremos saber qué es posible conseguir sin conjuntos de potencias en esos modelos.
Por último, en cuanto a sus observaciones sobre la definibilidad, le remito, como he mencionado en los comentarios, a una respuesta que escribí a una propuesta similar que, en mi opinión, demuestran que el tratamiento ingenuo del concepto de definibilidad es, en última instancia, defectuoso.
MarlonRibunal
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Las palabras no son mágicas. El hecho de dar un nombre a algo no significa que exista, y a la inversa, una cosa puede existir sin tener un nombre.
Déjame explicarte esto. Dices que el conjunto de potencias de un conjunto infinito es cuestionable porque debe tener algunos elementos indefinibles. Estás suponiendo que los subconjuntos de un conjunto deben ser todos distinguibles por ti, o por alguna entidad cuyo único acceso a los conjuntos de poder es a través del lenguaje formal. Pero, ¿por qué se justifica tal suposición? ¿Qué te hace pensar que una cosa no existe a menos que puedas definirla? ¿Es la existencia una creencia personal?
Ahora, para responder a su pregunta sobre las matemáticas sin el conjunto de poderes. Esto se llama a veces matemáticas predicativas . Podemos hacer prácticamente todas las matemáticas sin el axioma del conjunto de potencias. Por supuesto, en su lugar postulamos otras construcciones que nos permiten generar infinitos objetos, pero en un controlado manera, como las definiciones inductivas.
Una forma particular de matemática predicativa es la teoría de tipos. Puede que te interese ver lo que se puede hacer en ella. Por ejemplo, eche un vistazo a la Biblioteca estándar Coq o el contribuciones de los usuarios , son formalizaciones de las matemáticas en la teoría de tipos. Y estas cosas están escritas principalmente por informáticos. Si los matemáticos se subieran al carro de los asistentes de pruebas, habría mucho más.
