El ordenador dice $24p+17$ no es un número cuadrado para $p<10^7$ así que supongo que no lo es. Sé que los cuadrados de los números Impares son todos $8p+1$ pero $24p+17$ pasa la prueba
¿Y cómo resolver este tipo de problemas en general? Gracias por adelantado
Reduce la ecuación a módulo tres. Como 3 divide a 24 y como $17 = 5\times 3 + 2$ vemos que $24p+17 \equiv 2\bmod 3$ para todos $p$ . Ahora bien, fíjate en que $0^2 = 0 \equiv 0 \bmod 3$ , $1^2 =1 \equiv \bmod 3$ y $2^2 = 4 \equiv 1 \bmod 3$ . Así que ningún número cuadrado es congruente con 2 módulo 3, lo que significa $24p+17$ no es cuadrado.
En general, me fijé en los factores de 24. Son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. El objetivo ahora es reducir $24p+17$ modulo uno de estos factores. Entonces hay que encontrar un factor que al reducir 17 módulo a ese factor, se obtenga un número que no venga dado al elevar al cuadrado ninguno de los miembros de $\mathbb{Z}_n$ .
Por ejemplo, probemos $n=6$ . $24p+17 \equiv 5 \bmod 6$ . Siguiente $0^2 \equiv 0 \bmod 6$ , $1^2 \equiv 1 \bmod 6$ , $2^2 \equiv 4 \bmod 6$ , $3^2 \equiv 3 \bmod 6$ , $4^2 \equiv 4 \bmod 6$ y $5^2 \equiv 1 \bmod 6$ . De nuevo, ningún cuadrado es congruente con 5 módulo 6, mientras que $24p+17$ es congruente a 5 módulo 6. De nuevo, esto demuestra que $24p+17$ no es un cuadrado.
El problema es equivalente a "Demostrar que en Base 24, ningún número cuadrado termina en la cifra H (es decir, diecisiete)".
Leyendo la diagonal del cuadrovigesimal tabla de multiplicar da los números cuadrados como: 1, 4, 9, G, 11, 1C, 21, 2G, 39, 44, 51, 60, 71, 84, 99, AG, C1, DC, F1, GG, I9, K4, M1, 100.
Así, en el cuadrovigesimal, todos los números cuadrados terminan en uno de los dígitos {0, 1, 4, 9, C, G}, que no incluye H.
Cualquier número no divisible por $6,$ puede expresarse como $6p\pm1, 6p\pm 2,6p\pm 3$ donde $p$ es un número entero cualquiera
Si $p$ es un número natural impar, ya que $24p+17$ es impar y no es divisible por $3,$ su raíz cuadrada (si la hay) debe ser de la forma $6p\pm1$ como primera $q$ divide el número entero $n\iff q$ divide $n^2$
$$\text{Now, }(6p\pm1)^2=36p^2\pm12p+1=24p^2+24\frac{p(p\pm1)}2+1\equiv1\pmod {24}$$
También (no es necesario aquí), $$(6p\pm2)^2=36p^2\pm24p+4=12p^2\pm24p+4=12(p^2-1)\pm24p+16\equiv16\pmod {24}\text{ as } 2 (\text{ in fact } 8 )\text{ divides } (p^2-1) \text{ for odd }p$$
$$(6p\pm3)^2=36p^2\pm36p+9=72\frac{p(p\pm1)}2+9\equiv9\pmod {24}$$
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