Espacios de raíces para álgebras de Lie simplécticas $\mathfrak{s} \mathfrak{p}_n$

Question

Consideremos el álgebra de Lie simpléctica $\mathfrak{s} \mathfrak{p}_n$ sobre un campo $K$ .

Sé que el sistema de raíces está dado por $C_n=\{\pm 2e_j, \pm e_j \pm e_k:j,k=1 \cdots n, j \neq k\} $

donde $e_k(diag(h,-h))=h_k$ con $h \in K$ .

No sé cuáles son los espacios de raíces correspondientes para cada raíz . Gracias por discutir los espacios de las raíces (posiblemente con la ayuda de matrices, diagramas para que sea más fácil para mí entender).

Answer 1

Denotemos las raíces positivas $a_{ij} = e_i - e_j$ (para $i<j$ ), $b_i = 2e_i$ , $c_{ij} = e_i + e_j$ (para $i<j$ ). Entonces los subespacios raíz corresponden a las matrices enries de la siguiente manera:

$\begin{equation} \left(\begin{array}{lllll|lllll} \ast & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} & b_1 & c_{12} & c_{13} & \cdots & c_{1n} \\ -a_{12} & \ast & a_{23} & \cdots & a_{2n} & c_{12} & b_2 & c_{23} & \cdots & c_{2n} \\ -a_{13} & -a_{23} & \ast & \cdots & a_{3n} & c_{13} & c_{23} & b_3 & \cdots & c_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{1n} & -a_{2n} & -a_{3n} & \cdots & \ast & c_{1n} & c_{2n} & c_{3n} & \cdots & b_n \\ \hline % -b_1 & -c_{12} & -c_{13} & \cdots & -c_{1n} & \ast & -a_{12} & -a_{13} & \cdots & -a_{1n} \\ -c_{12} & -b_2 & -c_{23} & \cdots & -c_{2n} & a_{12} & \ast & -a_{23} & \cdots & -a_{2n} \\ -c_{13} & -c_{23} & -b_3 & \cdots & -c_{3n} & a_{13} & a_{23} & \ast & \cdots & -a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -c_{1n} & -c_{2n} & -c_{3n} & \cdots & -b_n & a_{1n} & a_{2n} & a_{3n} & \cdots & \ast \end{array} \right) \end{equation}.$

Recordemos que una matriz de $\mathfrak{sp}$ debe tener su bloque superior derecho e inferior izquierdo simétrico, y que el bloque inferior derecho sea transposición negativa del superior izquierdo. Así que los subespacios de las raíces son unidimensionales.