Para qué condiciones en los platós $A$ y $B$ la declaración $A - B = B - A$ ¿tiene?

Question

La respuesta obvia es $A = B$ . Pero se me ocurrió otra respuesta. No puedo averiguar cuál es mi sesgo.

Digamos que

• $S = A - B$

• $T = B - A$

Probando $S=T$ significa demostrar $S \subseteq T$ y $T \subseteq S$

Empecemos con $S \subseteq T$

Para cualquier $x \in S$ :

• $x \in A$
• $x \notin B$

si $S \subseteq T$ , $x \in T$ y :

• $x \in B$
• $x \notin A$

No hay $x$ dando satisfacción, por lo que $A$ y $B$ están vacíos.

Pruebo $T \subseteq S$ por simetría

Mi solución es : $A = B = \emptyset$

¿Qué pasa?

Answer 1

Veamos el fallo en su lógica. Se nos da que $S \subset T$ . Entonces, si $x \in S$ entonces $x \in A - B$ Así que $x \in A$ y $x \notin B$ . Pero también, $x \in T$ lo que significa que $x \in B$ y $x \notin A$ . Por lo tanto, $x \in B$ y $x \notin B$ , lo cual es una contradicción. Por lo tanto, no hay tal $x$ existe, por lo que $S$ debe estar vacío. Invirtiendo el argumento, concluimos que $T$ debe estar vacío. En otras palabras, $A \subset B$ y $B \subset A$ Así que $B=A$ .

Answer 2

Probé tu razonamiento usando la lógica de predicados. Estoy publicando la respuesta para mostrar una forma alternativa de razonamiento.

Así que, $x \in A-B$ si $x \in A$ pero $x\not\in B$ . Equivalentemente, $x\in B-A$ si $x \in B$ pero $x \not\in A$ . Así, $A-B = B-A$ si \begin{equation} \forall x : ( x \in A \wedge x\not\in B \Longleftrightarrow x\not\in A\wedge x\in B ) \end{equation}

Recuerde $\varphi \Longleftrightarrow \psi$ significa $(\varphi \wedge \psi) \vee (\neg \varphi \wedge \neg \psi )$ . Pero en este caso, el término izquierdo de esta equivalencia reescrita es $x \in A \wedge x\not\in B \wedge x\not\in A\wedge x\in B$ y es obviamente imposible (igual a $\bot$ ), por lo que la única posibilidad de $x$ es \begin{align} & \neg(x \in A \wedge x\not\in B) \wedge \neg(x\not\in A\wedge x\in B) \\ =& (x \not\in A \vee x\in B) \wedge (x\in A\vee x\not\in B) \\ =& (x \not\in A \wedge x\not\in B) \vee (x\in A\wedge x\in B) \vee (x \in A \wedge x\not\in A) \vee (x\not\in B\wedge x\in B) \\ =& (x \not\in A \wedge x\not\in B) \vee (x\in A\wedge x\in B) \\ \end{align}

En otras palabras, no hay $x$ tal que $A$ contiene $x$ pero no $B$ o $B$ contiene $x$ pero no $A$ . Es decir, $A$ y $B$ tienen los mismos elementos, es decir $A=B$ .