El cálculo de una integral indefinida: $\int \frac{2n!\sin x + x^n }{e^x + \sin x + \cos x + P_n (x)}\, dx $

Question

Deje que $\displaystyle P_n (x) = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2 }{2!} + \cdots + \frac{x^n }{n!} \ $ and $$ I(x) = \int \frac{2n!\sen x + x^n }{e^x + \sin x + \cos x + P_n (x)}\, dx $$ (where $\ n \to \infty \ $).

Este problema es MUY frustrante para mí en este momento, es las 6 de la mañana aquí y he estado tratando de resolver desde las 4:30 de la mañana. Primero de todo, no entiendo el uso de la $P_n(x)$ la notación, no es que sólo $e^x$ ? De todos modos...Ninguno de mis planteamientos logrado resultados muy útiles, así que me voy a llegar a usted. Alguien puede sugerir algo, en todo ?

Sería muy apreciada, muchas gracias!

EDIT : me las arreglé para resolver parte del problema, ahora estoy atascado con $ I(x) = n!(x - \log [2e^x + \sin (x) + \cos (x)] + \int {\frac{{x^n }}{{e^x + \sin x + \cos x + P_n (x)}}} dx $.

Realmente no puede averiguar si esto es mucho mejor, pero eso es todo lo que yo pudiera llegar hasta este punto.

Answer 1

Este es un truco integral!

Vamos a demostrar que

$$ \begin{align} \int \frac{2n!\sin x + x^n }{e^x + \sin x + \cos x + P_n (x)} {\rm d} x & = n! \:x-n!\:\log |e^x+\cos x+\sin x+P_n(x)| +C, \end{align} $$

donde $C$ es cualquier constante (dependiendo $n$).

Observar que $$ P_n (x) = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2 }{2!} + \cdots + \frac{x^n }{n!} $$ es tal que $$ P_n '(x) = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2 }{2!} + \cdots + \frac{x^{n-1} }{(n-1)!}= P_n (x) -\frac{x^n}{n!}. $$ Configuración $$ f(x):=e^x+\cos x+\sin x+P_n(x) $$ entonces tenemos $$ f'(x)=e^x-\sin x+\cos x+P_n(x)-\frac{x^n}{n!} $$ y $$ f(x)-f'(x)=2\sin x+\frac{x^n}{n!} $$ De ahí su integral puede escribirse como $$ \begin{align} \int \frac{2n!\sin x + x^n }{e^x + \sin x + \cos x + P_n (x)} {\rm d} x &= n! \int \frac{f(x)-f'(x) }{f(x)}{\rm d} x \\\\ &= n! \int {\rm d} x-n! \int \frac{f'(x) }{f(x)}{\rm d} x \\\\ & = n! \:x-n!\:\log |f(x)| +C \\\\ & = n! \:x-n!\:\log |e^x+\cos x+\sin x+P_n(x)| +C, \end{align} $$ where $C$ is a constant (depending on $$n).

Answer 2

Es el $n\rightarrow\infty$ se aplican a la $n$ en la integral del numerador así como a $P_{n}(x)$? Si es así, entonces mi conjetura es que esto es un incorrectamente plantea un problema o la respuesta es totalmente divergente a infinito debido a la $n!$ en el numerador. He estado trabajando para encontrar maneras de deshacerse de esto, pero la primera integral se muestra que la primera parte diverge como $n\rightarrow\infty$.