Sólidos vecinos en el panal tetraédrico-octaédrico

Question

En el panal tetraédrico-octaédrico Cada vértice parece incidir en 6 octaedros y 8 tetraedros:

Este simple hecho combinatorio es probablemente bien conocido, o quizás incluso obvio. Sin embargo, al venir de un campo diferente, me cuesta justificarlo matemáticamente. He pensado que tal vez se pueda leer esto desde el Símbolos de Schläfli o la notación Diagrama de Coxeter pero no lo consiguió.

¿Cómo se puede llegar a este resultado si no se quiere utilizar el método riguroso de contar los sólidos de colores en una imagen de Wikipedia?

Answer 1

Puedes comprobar que los ángulos sólidos de esos poliedros suman $4\pi$ . Tenemos ( ver aquí para más detalles ):

$$ \Omega_{tetr}=2\pi-6\arcsin\sqrt{2\over3}, \quad \Omega_{oct}=2\pi-8\arcsin\sqrt{1\over3}. $$ Por lo tanto, cuando 6 octaedros y 8 tetraedros se encuentran en un vértice, cubren un ángulo sólido dado por: $$ \Omega_{tot}=8\Omega_{tetr}+6\Omega_{oct}= 28\pi-48\left(\arcsin\sqrt{2\over3}+\arcsin\sqrt{1\over3}\right). $$ Pero los ángulos entre paréntesis son complementarios (los cuadrados de sus senos suman $1$ ), por lo tanto: $$ \Omega_{tot}=28\pi-48{\pi\over2}=4\pi. $$

Answer 2

El diagrama de Coxeter-Dynkin del tetraedro-octaedro-nido de abeja es un gráfico tridental, que se puede dar en notación inline amigable para la máquina de escribir como

x3o3o *b4o

Aquí la parte "*b" significa una revisitación virtual del b-ésimo nodo (real) (es decir, el del medio de la parte izquierda, que se convierte así en el punto de bifurcación del gráfico, ya que la parte derecha tiene que volver a unirse a él). La "x" representa aquí un nodo anillado, mientras que la "o" representa un nodo no anillado del diagrama.

Utilizando esta representación, resulta muy fácil proporcionar la matriz de incidencia total de este panal

x3o3o *b4o   (N → ∞)  

. . .    . | N | 12 | 24 |  8 6  
-----------+---+----+----+-----  
x . .    . | 2 | 6N |  4 |  2 2  
-----------+---+----+----+-----  
x3o .    . | 3 |  3 | 8N |  1 1  
-----------+---+----+----+-----  
x3o3o    . | 4 |  6 |  4 | 2N *  
x3o . *b4o | 6 | 12 |  8 |  * N  

Así se ve que la figura del vértice (la parte superdiagonal de la primera fila) está representada por un cuboctaedro, y que los 2 tipos de celdas contenidos son tetraedros (parte subdiagonal de la penúltima fila) y octaedros (parte subdiagonal de la última fila).

Cf. https://bendwavy.org/klitzing/incmats/octet.htm (y otras explicaciones en este sitio web).

--- rk

PD: incluso se puede derivar la figura de vértice, que has pedido, de ese diagrama de Dynkin dado x3o3o *4o como siendo . x3o *b4o (= o3x4o) es decir un cuboctaedro. Los 8 triángulos . x3o . son las bases de las pirámides (tetraedros) que emanan de los vértices x3o3o . y los 6 cuadrados . x . *b4o son las facetas ecuatoriales de los octaedros que emanan del vértice x3o . *b4o.

--- rk

Answer 3

Desde el Página de Wikipedia a la que se refiere la pregunta:

Para un panal cúbico alternado con aristas paralelas a los ejes y con una longitud de arista de $1$ las coordenadas cartesianas de los vértices son: (Para todos los valores integrales: $i,j,k$ con $i+j+k$ incluso)

$(i, j, k)$

En esta construcción de un panal tetraédrico-octaédrico, los vértices $(i, j, k)$ es un incidente en $12$ bordes, dados por el $12$ vectores $(0, \pm1,\pm1)$ , $(\pm1, 0,\pm1)$ , $(\pm1, \pm1, 0)$ , tendido en el $3$ planos de coordenadas cartesianas rectangulares que se encuentran en $(i, j, k)$ :

El $12$ vértices adyacentes a $(i, j, k)$ están marcados aquí en azul. El $6$ semiejes de coordenadas cartesianas rectangulares que pasan por $(i, j, k)$ están terminados por puntos rojos, que marcan los centros de los $6$ incidente de octaedros en $(i, j, k)$ .

Vértice $(i, j, k)$ es un incidente en $8$ cubos, de longitud de lado $1$ que pertenece al panal cúbico subyacente. En cada uno de estos cubos, $3$ Los bordes del panal tetraédrico-octaédrico se extienden en diagonal a través del $3$ caras de la reunión del cubo en $(i, j, k)$ . Los extremos de estos $3$ diagonales, junto con $(i, j, k)$ constituyen los vértices de uno de los $8$ tetraedros incidente en $(i, j, k)$ .

En el siguiente diagrama, he sombreado las caras triangulares de estos tetraedros opuestas a los vértices $(i, j, k)$ :

En la siguiente imagen (tomada desde otro punto de vista), he sombreado, en cambio, los cortes transversales cuadrados del $6$ incidente del octaedro en $(i, j, k)$ (centrado en el $6$ puntos rojos en la primera imagen):

Como se puede ver en la última imagen, el $12$ vértices del panal tetraédrico-octaédrico adyacente al vértice $(i, j, k)$ son los vértices de un cuboctaedro. Para más información sobre este sólido arquimediano, y para imágenes de mayor calidad, véase por ejemplo El cuboctaedro | Hexnet o Cuboctaedro - Wikipedia .

De la página de Wikipedia a la que se acaba de hacer referencia:

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un cuboctaedro (de longitud de arista $\sqrt{2}$ ) centrados en el origen son: $$ \begin{array}{c} (\pm1,\pm1,0) \\ (\pm1,0,\pm1) \\ (0,\pm1,\pm1) \end{array} $$

lo que al menos parece confirmar que no he entendido mal la construcción.