Probar algo es $1$ -Lipschitz

Question

(1) Que $(X,d)$ sea un espacio métrico, y que A sea un subconjunto no vacío. Demuestre que la función $$D_A :X \to [0,\infty ]$$ definido por $$D_A (x) =\inf \{d(x,y) : y \in A\}$$ es $1$ -Lipschitz (cuando $[0,\infty)$ se le da la métrica estándar.

(2) Supongamos ahora que A es compacto. Demostrar que, para cada $x \in X$ Hay algunos $a \in A$ , de tal manera que $D_A (x) = d(a,x)$ .

Esto es parte de una hoja de repaso para un examen que estoy haciendo, no se califica sólo algunos problemas de práctica. Tengo problemas con esta pregunta. No estoy seguro de cómo demostrar que algo es Lipschitz. ¿Quiero demostrar que $$d_{[0,\infty)} (D_A(x),D_A(x')) \le d_x(x,x')$$ para todos $x,x' \in X$ ? No estoy del todo seguro de cómo hacerlo.

Para la segunda parte, ¿tendré que usar algo como que A es un subconjunto compacto de un espacio métrico implica A cerrado y acotado?

Answer 1

Utilice la desigualdad triangular en la definición de $D_A(x)$ para demostrar que $$ D_A(x) \leq d(x,x') + D_A(x'). $$ Ahora, cambiando los papeles de $x$ y $x'$ puede demostrar $(1)$ .

Para $(2)$ demostrar que $y \mapsto d(x,y)$ es continua para todo $x$ y utilizar que una función continua sobre un compacto alcanza su infimo.

Answer 2

Pistas: Para $D_A$ para ser $1$ -Lipschitz (también conocida como función no expansiva) hay que demostrar que $d(D_A(x),D_A(x'))\le d(x,x')$ . Aquí la primera $d$ es la función de distancia en $[0,\infty]$ que se toma como la distancia euclidiana habitual (con las convenciones adecuadas respecto a $\infty $ ). El segundo $d$ se refiere a la función de distancia del espacio métrico $X$ . Es decir, para un determinado $x,x'\in X$ , tiene que demostrar que $|\inf \{d(x,y)\mid y\in A\}-\inf \{d(x',y)\mid y\in A\}|\le d(x,x')$ . Para demostrar esto tendrás que utilizar la desigualdad del triángulo en algún momento.

Para la parte 2, utilice el hecho de que cualquier secuencia en $A$ tiene una subsecuencia convergente. Construya una secuencia adecuada que intente converger a la inf. Luego tome una subsecuencia convergente de la misma.