¿Por qué esta estrategia tamiza los compuestos sin factores $2,3$ ?

Question

Toma $$ 3 + 2 = 5 \\ 3 + 4 = 7 \\ 5 + 6 = 11 \\ 5 + 8 = 13 \\ 7 + 10 = 17 \\ 7 + 12 = 19 \\ 9 + 14 = 23 \\ 9 + 16 = 25 \\ \cdots $$

Tengo problemas para escribir cuál es el patrón para empezar.

Creo que es $2n + 1 + 2n + 2$ y $2n + 1 + 4n$ entrelazados, de modo que la lista enumera esencialmente los dos conjuntos $4\Bbb{N} + 3$ y $6\Bbb{N} + 1$ . Entonces, ¿cómo paso de ahí a decir que la lista de la derecha es la lista ordenada de todos los números no divisibles por $2,3$ ?

En segundo lugar, ¿cómo podemos generalizar este procedimiento de suma para filtrar más compuestos?

Answer 1

Módulo de trabajo $6$ sabemos que los números divisibles por $2$ o $3$ tendrá restos $0, 2, 3$ o $4$ . Por lo tanto, tenemos que demostrar que los números de esta lista tienen restos $1$ o $5$ .

Lo tenemos:
$(3)+(2) \equiv 5 \pmod 6$

$(3)+(2+2) \equiv 1 \pmod 6$

$(3+2)+(2+2+2) \equiv 5 \pmod 6$

$(3+2)+(2+2+2+2) \equiv 1 \pmod 6$

y así sucesivamente. Obsérvese que de la línea 1 a la línea 2, añadimos $2$ à $5$ que es $1$ modulo $6$ . Luego, de la línea 2 a la línea 3, añadimos $4$ à $1$ que es $5$ de nuevo, y el ciclo se repite.

Por lo tanto, los únicos restos de la secuencia son $1$ y $5$ que son también los restos que no son divisibles por $2$ o $3$ modulo $6$ .