Intentaré responder a esta pregunta desde el punto de vista topológico. El resumen corto es que los objetos estructurados en el entorno espectral tienen operaciones de cohomología y operaciones de potencia, lo que obliga a la geometría algebraica espectral a ser diferente de la geometría algebraica derivada. $\newcommand{\FF}{\mathbf{F}}\DeclareMathOperator{spec}{Spec}\newcommand{\Eoo}{E_\infty} \newcommand{\Z}{\mathbf{Z}} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\N}{\mathbf{N}} $
Ilustrémoslo con algunos ejemplos. El ejemplo más sencillo es que en característica positiva, cualquier anillo discreto $A$ tiene un endomorfismo de Frobenius. Los anillos commmutativos simpliciales son generados libremente bajo colímites tamizados por polinomios finitamente generados $A$ -por lo que, en característica positiva, los anillos conmutativos simpliciales tienen endomorfismos de Frobenius. Sin embargo, en general, $\Eoo$ -Los anillos no tienen nada parecido a un endomorfismo de Frobenius.
Para algunos ejemplos más, considere el anillo discreto $\FF_2$ , considerado como un $\Eoo$ -sobre la esfera, y como un anillo conmutativo simplicial discreto, como en mi comentario. Nótese que el objeto inicial en la categoría de anillos conmutativos simpliciales es el anillo habitual $\Z$ .
- En el mundo espectral, el producto fibra $M:=\spec\FF_2\times_{\spec \mathbb{S}} \spec \FF_2 = \spec(\FF_2\otimes_\mathbb{S} \FF_2)$ vive más $\spec \FF_2$ y $\pi_\ast \mathcal{O}_M$ puede identificarse con $\pi_\ast(\FF_2\otimes_\mathbb{S} \FF_2)$ que es el álgebra dual de Steenrod.
- En cambio, el producto de fibra $N:=\spec \FF_2\times_{\spec \Z} \spec \FF_2 = \spec(\FF_2\otimes^\mathbb{L}_\Z \FF_2)$ ¡en el mundo de la geometría algebraica derivada no es el álgebra dual de Steenrod! En su lugar, $\pi_\ast \mathcal{O}_N$ puede identificarse con $\pi_\ast(\FF_2\otimes^\mathbb{L}_\Z \FF_2) = \mathrm{Tor}^\ast_\mathbf{Z}(\FF_2, \FF_2) = \FF_2[x]/x^2$ con $|x| = 1$ .
Este es ya un ejemplo de cómo los mundos espectral y derivado divergen en característica positiva. Otro ejemplo proviene de la consideración de la línea afín. En el mundo clásico, la recta afín $\mathbf{A}^1_X$ es plana sobre el esquema discreto $X$ . Tomando el enfoque del functor de puntos, la línea afín se define como $\spec$ del álgebra libre conmutativa en un generador (es decir, el anillo polinómico $\Z[x]$ ).
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En el mundo espectral, el libre $\Eoo$ -en un generador sobre un $\Eoo$ -anillo $R$ viene dada por $\bigoplus_{n\geq 0} (R^{\otimes n})_{h\Sigma_n} =: R\{x\}$ (véase la nota al final de esta respuesta). Por ejemplo, esto significa que $\mathbb{S}\{x\}$ es una suma directa de los espectros $\Sigma^\infty B\Sigma_n$ . Supongamos que $R = \FF_2$ , considerada de nuevo como un elemento discreto $\Eoo$ -Anillo. Entonces $$\pi_n\FF_2\{x\} = \bigoplus_{k\geq 0} H_n(\Sigma_k; \FF_2),$$ donde cada $\Sigma_k$ actúa trivialmente sobre $\FF_2$ . En particular, $\FF_2\{x\}$ no es plana sobre $\FF_2$ . (Recordemos que si $A$ es un $\Eoo$ -anillo, entonces un $A$ -Módulo $M$ se dice que es plana sobre $A$ si $\pi_0 M$ es plana sobre $\pi_0 A$ y el mapa natural $\pi_\ast A\otimes_{\pi_0 A} \pi_0 M\to \pi_\ast M$ es un isomorfismo. En particular, cualquier módulo plano sobre un anillo discreto debe estar concentrado en grado cero). Este fallo corresponde exactamente a la existencia de las operaciones de Steenrod. De forma más general, los grupos de homotopía $\pi_\ast R\{x\}$ llevar toda la información sobre las operaciones de energía en $E_\infty$ - $R$ -algebras.
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Por otro lado, el anillo conmutativo simplicial libre sobre un generador sobre $\FF_2$ es sólo el anillo polinómico $\FF_2[x]$ . Esto es ciertamente plano sobre $\FF_2$ .
Otro ejemplo (técnicamente no es una "característica positiva", pero sigue siendo un buen ejemplo que ilustra la diferencia entre el mundo espectral y el derivado) en esta línea viene de contemplar la definición del esquema $\mathbf{G}_m$ . Clásicamente, se define como $\spec$ del álgebra libre conmutativa en un generador invertible.
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En el mundo espectral, ya existe un candidato natural para este functor: es el functor conocido como $\GL_1$ . Si $R$ es un $\Eoo$ -se puede definir el espacio $\GL_1(R)$ como el retroceso $\Omega^\infty R \times_{\pi_0 R} (\pi_0 R)^\times$ es decir, como el componente de $\Omega^\infty R$ sobre los elementos invertibles en $\pi_0 R$ . (Se puede definir de forma similar $\mathrm{SL}_1(R)$ .) Nos encontramos con el mismo problema --- el esquema espectral resultante $\GL_1$ no es plana en el espectro de la esfera. El espacio $\GL_1(R)$ es un espacio de bucle infinito, y es muy misterioso en general.
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En el mundo derivado, se puede definir el functor $\mathbf{G}_m$ como $\spec$ del anillo conmutativo simplicial libre en un generador invertible, es decir, como $\spec \Z[x^{\pm 1}]$ . De hecho, se puede ampliar la entrada de $\mathbf{G}_m$ a $\Eoo$ -anillos, definiendo $\mathbf{G}_m(A)$ , para $A$ un $\Eoo$ -anillo, para ser $\mathrm{Map}_{\text{infinite loop}}(\Z, \GL_1(A))$ . Entonces, hay un mapa de esquemas $\mathbf{G}_m\to \GL_1$ que es una equivalencia sobre los racionales.
Este punto de vista (que las operaciones de cohomología y las operaciones de potencia separan los mundos espectral y derivado) también ayuda a fundamentar la intuición de por qué los anillos conmutativos simpliciales y $\Eoo$ -anillos coinciden racionalmente: el álgebra racional de Steenrod es trivial (la esfera racional es sólo $\mathbf{Q}$ ¡)! Por supuesto, esto no constituye una prueba.
Nótese que en los libros de Lurie, la línea afín no se define a través de la libre $\Eoo$ -en un generador; como vimos anteriormente, eso $\Eoo$ -Anillo es un poco difícil de manejar. En su lugar, $\mathbf{A}^1_R$ se define como $\spec(R\otimes_\mathbb{S} \Sigma^\infty_+ \mathbf{N})$ , donde $\mathbf{N}$ se considera ahora como un espacio topológico discreto. Como $\Sigma^\infty_+ \mathbf{N}$ es plana sobre $\mathbf{S}$ De este modo, se evita el problema de la falta de planicidad mencionado anteriormente. Sustitución de $\N$ con $\Z$ arriba, uno elude de manera similar el problema de la no planicidad para $\mathbf{G}_m$ .
Quiero comentar brevemente un ejemplo sorprendente en el que el mundo espectral y el derivado coinciden. En lugar de estudiar la geometría algebraica espectral con $\Eoo$ -anillos, trabajemos en el contexto de la geometría algebraica espectral con $E_2$ - anillos. (En la jerarquía de $E_k$ -Esta es la estructura mínima que se puede/debe imponer antes de que sea razonable decir que hay algún nivel de conmutatividad. Por ejemplo, si $A$ es un $E_k$ -anillo, entonces $\pi_0 A$ es un anillo conmutativo una vez $k\geq 2$ .) La teoría de la geometría algebraica sobre $E_k$ -anillos fue estudiado por Francis en su tesis (ver http://www.math.northwestern.edu/~jnkf/writ/thezrev.pdf ).
En el mundo derivado, el álgebra libre conmutativa con $p=0$ es sólo $\FF_p$ . Sorprendentemente, el libre ( $p$ -local) $E_2$ -anillo con $p=0$ también es $\FF_p$ ¡! Este resultado se debe a Hopkins y Mahowald. Aparte de la prueba en sí (que es muy ilustrativa, y una buena aplicación de $E_2$ -Operaciones Dyer-Lashof; véase https://arxiv.org/abs/1411.7988 y https://arxiv.org/abs/1403.2023 ), no tengo ninguna explicación conceptual de por qué este resultado debería ser moralmente cierto. Sin embargo, hay que tener en cuenta que el libre ( $p$ -local) $E_2$ -anillo con $p^n=0$ es no discreto (esto se debe a Jeremy Hahn, véase https://arxiv.org/abs/1707.00956 ) para $n>1$ .
