Estoy perdiendo la cabeza con esta pregunta y estoy casi convencido de que la pregunta en sí misma es errónea. Quiero mostrar $ [(a,b,c,d) : a+b-c^3+d^2=0, a^2+b^2-8d=10]$ es un 2-submanifold de $\mathbb R^4$ . Tengo el mapa $$F(a,b,c,d) = (f(a,b,c,d), g(a,b,c,d))$$ donde $f = a+b-c^2-d^2$ y $g=a^2+b^2-8d-10$ . Estoy tratando de mostrar que esto es una inmersión a $\mathbb R^2$ (y luego utilizar el teorema de la preimagen), pero después de calcular la jacobiana y obtener un sistema de $6$ ecuaciones, encuentro $c=0$ y a partir de ahí no se sabe a dónde ir. Necesito demostrar por contradicción que $\nabla f$ y $\nabla g$ no son linealmente dependientes, pero parece que acabo obteniendo un resultado para la constante que llamaré $k$ para que $k\nabla f = \nabla g$ que ni siquiera debería ser posible. ¿Qué debo hacer?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sólo tiene que demostrar que $F^{-1}(0,0)$ es un submanifold. Utilizando el teorema de la preimagen, basta con demostrar que $(0,0)$ es un valor regular de $F$ . Esto es más débil que mostrar que $F$ es una inmersión.
Para ello, hay que tener en cuenta que el jacobiano viene dado por (supongo que $f = a+b-c^3 +d^2$ ) $$ \begin{pmatrix} 1 & 1& -3c^2 & 2d \\2a & 2b & 0 & -8 \end{pmatrix}$$ La primera observación es que cuando $c\neq 0$ , $$ \begin{pmatrix} -3c^2 & 2d \\ 0 & -8 \end{pmatrix}$$ es invertible y por tanto $J$ es de rango 2. Supongamos ahora $c=0$ . Si $a\neq b$ entonces $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\2a & 2b \end{pmatrix}$$ también es invertible. Así que consideramos el caso $c=0$ y $a=b$ . Tomando la segunda y la cuarta fila, tenemos $$ \det \begin{pmatrix} 1& 2d \\2b & -8 \end{pmatrix} = -8-4bd, $$ que es cero si y sólo si $bd=-2$ . Poniendo $c=0, a=b = -2/d$ en
\begin{align} a+b-c^3+d^2&=0, \\ a^2+b^2-8d&=10 \end{align} obtenemos \begin{align} 2b+(-2/b)^2&=0, \\ b^2-4(-2/b)&=5 \end{align} la primera ecuación da $b = -2^{1/3}$ pero esto $b$ no satisface la segunda ecuación. Es decir, para cualquier $(a, b, c, d)$ que está en $F^{-1}(0,0)$ , $$c=0, a=b=-2/d$$ no pueden satisfacerse ambos. Por lo tanto, $J$ tiene un rango completo para todos los $(a, b, c, d) \in F^{-1}(0,0)$ . Esto implica que $F^{-1}(0,0)$ es un $2d$ submanifold de $\mathbb R^4$ .
