Problemas con la explicación del cierre transitivo

Question

Estoy leyendo un libro sobre estructuras en colecciones, capítulo relaciones de equivalencia, y trato de superar la explicación del cierre transitivo. Utilizan el siguiente ejemplo:

$A$ es un conjunto de personas. En $A$ la relación $R$ se define por $xRy$ si $x$ es un padre de $y$ .

Esta relación parental es una relación que no es transitiva. Seguramente, si $a$ es un padre de $b$ y $b$ es un padre de $c$ entonces $a$ no es (en general) un padre de $c$ . Utilizando la relación padre podemos definir la relación ancestro: $a$ es un ancestro de $b$ si existe una cadena de personas $c_1, c_2,\ldots, c_n$ para lo cual $a = c_1$ , $b = c_n$ y $c_i$ es un padre de $c_{i + 1}$ para cada $i \in \{1, \ldots, n - 1\}$ . La relación "antepasado de es transitivo.

Ahora veremos cómo podemos definir la relación de abuelo a partir de la relación de padre. Sea $R$ sea la relación de parentesco, $R = \{(x, y)\mid x\text{ is a parent of }y \}$ . Entonces tenemos: $a$ es un abuelo de $b$ si hay un $p$ de los cuales $a$ es su padre y $p$ es el padre de $b$ . La relación "abuelo de" es entonces igual a la colección $\{(x, y)\mid\text{there is a }p\text{ for which }xRp\text{ and }pRy\}$ .

Esta última frase es la que me confunde. ¿Cómo es que esta colección tiene exactamente $(x, y)$ ? Porque a mí me parece que lo que hay en la colección es $x\to p\to y$ y no $x\to y$ . No puedo, por mi vida, entender cómo esta definición está atando $x$ a $y$ .

Answer 1

Usted confunde dos formas diferentes de expresar las relaciones. Una relación sobre los elementos de un conjunto es la colección $R$ de pares ordenados $(x,y)$ tal que $x$ está relacionado con $y$ si y sólo si $(x,y) \in R$ . También expresamos el hecho de que $x$ está relacionado con $y$ como $xRy$ . Así, una relación $R$ es un colección de cosas que escribimos como $xRy$ para diferentes opciones de $x$ y $y$ , que también podríamos escribir como una colección de pares ordenados $(x,y)$ y nombrar el colección de pares ordenados como $R$ ¡! Por lo tanto, defina $$\begin{align} P &= \{(x,y) \colon x ~\text{is a parent of}~y, ~\text{that is},~ xPy\}\\ G &= \{(a,b) \colon \exists ~ p ~\text{such that} (a,p)\in P ~\text{and}~ (p,b) \in P, ~\text{that is},~ aGb \} \end{align}$$ como las relaciones entre padres y abuelos.