valor esperado y varianza de una variable binomial

Question

Si $X \sim \operatorname{Bin}(10, \theta)$ , $p(2)=0.1$ y $p(3)=0.2$ , encontrar $\operatorname{E}(X)$ y $\operatorname{V}(X)$

Estoy un poco perdido aquí así que lo primero que hice fue:

$$p(2)={10 \choose 2}\theta^2(1-\theta)^8=0.1$$ entonces, $$45\theta^2(1-\theta)^8=0.1 \rightarrow \theta^2(1-\theta)^8=\frac{1}{450}$$ y,

$$\theta(1-\theta)^4=\sqrt{\frac{1}{450}}$$ Hice lo mismo con $p(3)=0.2$ pero no estoy muy seguro de que eso sea lo que tengo que hacer.

Answer 1

Guía: $$\theta^2 (1-\theta)^8 = a$$ y $$\theta^3(1-\theta)^7 = b$$

implica $$\frac{1-\theta}{\theta}=\frac{a}{b}$$

que puede convertirse en una ecuación lineal en $\theta$ .

Después de resolver para $\theta$ Debería ser capaz de resolver el problema.

Answer 2

\begin{equation} 2=\frac{0.2}{0.1}=\frac{p(3)}{p(2)} = \frac{\binom{10}{3} \theta^3 (1-\theta)^7}{\binom{10}{2} \theta^2 (1-\theta)^8} = \frac{8\theta}{3(1-\theta)}, \end{equation} y luego resolver para $\theta$ .