Teorema del valor medio y una desigualdad

Question

En primer lugar, me gustaría decir que sigo Vídeo del MIT a las 52:00.

Supongamos que $f$ es continuamente diferenciable. Dicen que $$ \sum_{i=1}^{n}(f(t_{i+1})-f(t_{i}))^{2}\leq\sum_{i=1}^{n}((f'(s_{i})(t_{i+1}-t_{i}))^{2} $$ por el teorema del valor medio donde $s_{i}\in[t_{i},t_{i+1}].$ ¿Por qué? Veo que el teorema del valor medio nos da $$ f'(s_{i})(t_{i+1}-t_{i})=f(t_{i+1})-f(t_{i}) $$ para algunos $s_{i}\in[t_{i},t_{i+1}].$ Pero, ¿por qué el desigualdad ¿Allí?

Answer 1

Por el Teorema del Valor Medio tenemos que para algún $s_i \in [t_i, t_{i+1}]$

$$\begin{align} f(t_{i+1}) - f(t_i) = f'(s_i) (t_{i+1} - t_i) &\implies (f(t_{i+1}) - f(t_i))^2 = (f'(s_i) (t_{i+1} - t_i))^2 \\&\implies \sum_{i=1}^{n}(f(t_{i+1}) - f(t_i))^2 = \sum_{i=1}^{n}(f'(s_i) (t_{i+1} - t_i))^2\\&\implies \sum_{i=1}^{n}(f(t_{i+1}) - f(t_i))^2 \color{#05f}\leq \color{red}{\max_{0\leq s \leq T} \{f'^2(s)\}}\sum_{i=1}^{n} (t_{i+1} - t_i))^2 \\ &= \ldots\end{align}$$