Tomar una curva $z(t) = x(t) + i y(t), a \leq t \leq b$ en el plano complejo.
Considere una partición $Q= (a = t_0, t_1, \dots, t_n = b)$ de $[a,b]$ .
Asociar una partición $P = (z(t_0), \dots, z(t_n))$ y definir su norma como
$$N_P := \max_k \{|z_k-z_{k-1}|\}$$
Supongamos que $f$ es una función de valor complejo definida en la curva del plano complejo. Elija $t_k^* \in [t_{k-1}, t_k]$ y definir
$$S_P = \sum_{k=1}^n f(z(t_k^*))(z_k-z_{k-1})$$
Mi libro da entonces la siguiente definición:
Si $\lim_{N_P \to 0} S_P$ existe y es independiente del puntos elegidos $t_k^*$ escribimos $$\int_{z=z(t)} f(z) dz$$ para el límite.
Pregunta:
¿Significa esto que, denotando el límite con $L$ :
Para todos $\epsilon > 0$ Hay un poco de $\delta > 0$ de manera que si $P$ es una partición como la anterior con $N_P < \delta$ y si $t_k^*$ se elige arbitrariamente como arriba, entonces
$$|S_P - L| < \epsilon$$
