ODE: ¿Es correcta la sustitución simple?

Question

Una pregunta rápida.

Dado

$\ddot{y}+\frac{1}{x}\dot{y}-\frac{4}{x^2}y=0$

Resuelve la EDO sustituyendo $t=\ln(x)$ .

¿Es correcta mi siguiente sustitución?

$$\ddot{y}(t)+e^{-t}\dot{y}(t)-4e^{-2t}y(t)=0$$

En caso afirmativo, ¿es correcto suponer que puedo encontrar la solución hallando la serie de potencias convergentes de la Matriz $A(t)$ del sistema de primer orden convertido?

Answer 1

Una pista:

Nótese que tenemos, a través de la sustitución, $x=e^t \implies \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}$ y $$\frac{dy}{dx}=\dot{y}(t)\frac{dt}{dx} =\dot{y}(t)\frac{1}{x}=e^{-t}\dot{y}(t)$$ $$\implies \frac{1}{x}\frac{dy}{dx}=e^{-2t}\dot{y}(t)$$

De la misma manera, $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})= \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{dt}{dx}=\,?$$

Answer 2

Se trata de una ecuación de Euler de Cauchy (especialmente si es homogénea) también se pueden buscar las soluciones de la forma $y=x^\alpha$ , donde $\alpha$ es una constante a determinar. Tomando las derivadas $y'=\alpha x^{\alpha-1}$ y $y''=\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2}$ y poniéndolos en la ecuación se obtiene $$(\alpha^2-4)x^{\alpha-2}\Rightarrow \alpha^2-4=0\Rightarrow \alpha=-2,\,\alpha=2\Rightarrow y_1=x^{-2},\,y_2=x^2.$$