Una variante del teorema de Stothers-Mason

Question

Dejemos que $K$ sea un campo de funciones sobre $\mathbb{C}$ es decir, una extensión finitamente generada de $\mathbb{C}$ de grado de trascendencia 1. Supongamos que $x, y \in K^\ast$ son tales que $x + y = 1$ . Entonces el Teorema de Stothers-Mason establece que si $x \not \in \mathbb{C}$ tenemos $$ H_K(x) \leq |S| + 2g_K - 2, $$ donde $g_K$ es el género de $K$ y $S := \{v \in M_K : v(x) \neq 0 \text{ or } v(y) \neq 0\}$ son los lugares de $K$ tal que $v(x) \neq 0$ o $v(y) \neq 0$ .

El teorema de Stothers-Mason puede utilizarse para contar el número de soluciones de las ecuaciones unitarias en campos de funciones, pero conduce a la aparición de $g$ en los límites superiores resultantes. Por lo tanto, me pregunto si el límite superior del teorema de Stothers-Mason puede ser sustituido por $$ H_K(x) \leq c \gamma |S|, $$ donde $c$ es una constante absoluta y $\gamma$ es la gonalidad, es decir $$ \gamma := \min_{t \in K} [K : \mathbb{C}(t)]. $$ Obsérvese que este límite superior es más débil que el teorema de Stothers-Mason si $|S|$ tiene un tamaño mínimo de $2g_K - 2$ pero mucho más fuerte si $|S|$ es muy pequeño.

Hasta ahora he podido encontrar lo siguiente: Brownawell y Masser en su artículo ``sumas evanescentes en campos de funciones'' encuentran ejemplos para cada valor de $g$ tal que la igualdad se mantiene en el Teorema de Stothers-Mason para infinitos valores de $|S|$ . Por desgracia, $|S|$ tiene un tamaño mínimo de $g$ en sus ejemplos, por lo que no dice nada sobre la verdad de $H_K(x) \leq c \gamma |S|$ .

Edición: he cambiado el Teorema de Mason por el Teorema de Stothers-Mason.

Answer 1

No.

Toma la curva con ecuación $z^n = x (x-1)$ para $n$ un gran número de impar. Este es un grado $n$ cobertura de $\mathbb P^1$ totalmente ramificado sobre $x=0,x=1$ y $x=\infty$ . Esos $3$ puntos son los únicos lugares donde la valoración de $x$ o $y$ es distinto de cero. Por lo tanto, $|S|=3$

Además, el mapa $z$ es un grado $2$ mapa a $\mathbb P^1$ lo que demuestra que $\gamma=2$

La altura de $x$ es el grado del mapa $x$ (supongo), por lo que es igual a $n$ . Esto no tiene límites, pero $c \gamma |S|= 6 c$ está acotado.

Answer 2

En primer lugar, para dar crédito a quien lo merece, esto debería llamarse Teorema de Stother o tal vez el Teorema de Stother-Mason Ya que Stother publicó el resultado primero, al menos sobre $\mathbb C[t]$ y (citando a Wikipedia) Mason "lo redescubrió poco después". (Al igual que yo, de forma independiente, con una prueba algo diferente, pero esa es otra historia).

En segundo lugar, y más al punto de su pregunta, usted podría mirar la prueba muy corta de la desigualdad de Stother en

La ecuación de la unidad S sobre campos de funciones, Proc. Camb. Philos. Soc. 95 (1984), 3-4.

La prueba es una aplicación elemental de la fórmula de Riemann-Hurwitz. Es posible que se pueda adaptar para dar el tipo de resultado que se desea.

Answer 3

Si tu intención es acotar el número de soluciones de la ecuación unitaria $x+y=1, x,y \in G$ Beukers y Schlikewei (Acta Arithmetica 78(1996), 189-199) demostraron que está limitada por $2^{8r + 8}$ donde $r$ es el rango del grupo generado finitamente $G$ . Ahora el $S$ -tienen un rango limitado por $|S|-1$ solo modulo constantes. No estoy seguro de cómo tratar las constantes.