Para responder a la pregunta del título, "¿De qué manera la filosofía de Leibniz previó la matemática moderna?" se podría mencionar la distinción entre asignable y inasignable número que se asemeja mucho a la distinción entre número estándar y no estándar en el marco de Abraham Robinson (o de Edward Nelson). Además, la noción de Leibniz de una relación de igualdad generalizada es muy parecida a la noción moderna de sombra (o pieza estándar). La de Leibniz ley de continuidad encuentra un sustituto procesal cercano en el principio de transferencia de análisis no estándar. El resto de esta respuesta explicará cómo se pueden hacer tales afirmaciones sin caer en la trampa del presentismo.
Daniel Geisler especula que "debido a las reflexiones filosóficas de Leibniz, previó aspectos o partes de las matemáticas modernas" y pregunta: "¿Puede alguien ampliar estas conexiones y recomendar alguna referencia?"
Varios encuestados mencionaron la conexión con la teoría de Robinson. Por otro lado, François Brunault advirtió con razón: "La afirmación de que alguien (incluso Leibniz) previó partes de las matemáticas modernas es potencialmente controvertida debido a su subjetividad. Creo que la mayoría de los historiadores de las matemáticas insisten ahora en que los trabajos de los matemáticos anteriores deben estudiarse también desde el punto de vista de esa época, antes de extrapolar posibles conexiones."
François Brunault tiene razón al sugerir que existe una resistencia entre los historiadores de las matemáticas a la idea de ver una continuidad entre Leibniz y Robinson. De hecho, la interpretación que prevalece de los infinitesimales leibnizianos es la llamada interpretación sincategoremática, perseguida especialmente por R. Arthur y muchos otros estudiosos de Leibniz. Desde este punto de vista, los infinitesimales leibnizianos no son más que una abreviatura de los valores ordinarios ("reales"), combinados con un cuantificador (oculto), visto como una especie de anticipación pre-Weierstrassiana. Estos estudiosos se basan en pruebas extraídas de varias citas de Leibniz en las que se refiere a los infinitesimales como "ficciones útiles", y explican que los argumentos que implican infinitesimales pueden parafrasearse a l'ancienne utilizando el agotamiento. En este espíritu, interpretan las "ficciones útiles" leibnizianas como ficciones LÓGICAS, denotando lo que en terminología moderna se describiría como una fórmula cuantificada en lógica de primer orden.
Por ejemplo, Levey escribe:
"El análisis sincategoremático de lo infinitamente pequeño está ... configurado en torno al orden de los cuantificadores, de modo que sólo figuran cantidades finitas como valores de las variables. Así,
(3) la diferencia $|a-b|$ es infinitesimal
no afirma que exista un valor positivo infinitamente pequeño que mida la diferencia entre~ $a$ y~ $b$ . En cambio, informa,
( $3^*$ ) Para todo valor positivo finito $\varepsilon$ la diferencia $|a-b|$ es menor que $\varepsilon$ .
Elaborar este tipo de análisis con cuidado permite expresar las definiciones ya habituales del estilo épsilon-delta, etc."
Este comentario aparece en el artículo
Levey, S. (2008): Archimedes, Infinitesimals and the Law of Continuity: On Leibniz's Fictionalism. En Goldenbaum et al., pp.~107--134. El libro es
Goldenbaum U.; Jesseph D. (Eds.): Diferencias infinitesimales: Controversias entre Leibniz y sus contemporáneos. Berlín-Nueva York: Walter de Gruyter, 2008, véase http://www.google.co.il/books?id=tWWuQ9PHCusC&q=
Personalmente me cuesta creer que Levey se refiera a Leibniz, pero ahí lo tienes. Si el análisis de Levey se debe o no a un "deseo de preservar la ortodoxia de la epsilonística contra la herejía de los infinitesimales", como le gusta decir a Yemon, es algo que nadie sabe.
Lo que el punto de vista "sincategoremático" tiende a pasar por alto es la presencia de una metodología DUAL en Leibniz: tanto una arquimediana, como una que involucra genuinos infinitesimales "ficticios". Desde este punto de vista, los infinitesimales leibnizianos son puras ficciones (y no lógicas). Esta lectura es afín al punto de vista formalista de Robinson, y ve la continuidad no sólo entre las matemáticas de Leibniz y Robinson, sino también su filosofía. Este punto de vista se elabora en un texto titulado "Infinitesimals, imaginaries, ideals, and fictions" de David Sherry y mío, que aparecerá en Studia Leibnitiana, y que se puede consultar en http://arxiv.org/abs/1304.2137
HOPOS (Revista de la Sociedad Internacional de Historia de la Filosofía de la Ciencia) recién publicado nuestra refutación de las teorías sincategorematistas que pretenden barrer los infinitesimales leibnizianos bajo una alfombra weierstrassiana .
