Equivalencia entre el producto de una matriz simétrica sesgada y el producto de un bivector y un vector

Question

Me encontré con la siguiente afirmación en la página de wikipedia ( https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product#cite_note-lounesto2001-14 ) sobre el producto cruzado:

El producto vectorial cruzado también puede expresarse como el producto de una matriz asimétrica y un vector: $$ a \times b = [a]_{\times} b = \left[\begin{array}{ccc} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{array} \right] \left[\begin{array}{ccc} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{array} \right]. $$ Este resultado se puede generalizar a dimensiones superiores utilizando el álgebra geométrica. En particular, en cualquier dimensión, los bivectores pueden identificarse con matrices de simetría oblicua, por lo que el producto entre una matriz de simetría oblicua y un vector es equivalente a la parte de grado 1 del producto de un bivector y un vector[13] En tres dimensiones, los bivectores son duales de los vectores, por lo que el producto es equivalente al producto cruzado, con el bivector en lugar de su dual vectorial. En dimensiones superiores, el producto se puede calcular, pero los bivectores tienen más grados de libertad y no son equivalentes a los vectores[13].

He comprobado la fuente citada 13, pero no he encontrado nada útil. ¿Cómo son estas dos cosas equivalentes y de qué manera explícita? Estoy especialmente interesado en el caso de cuatro dimensiones.

Answer 1

Consideremos un bivector $A=\langle A\rangle_2$ con componentes $a_{ij}=\langle e_je_iA\rangle_0=-a_{ji}$ con respecto a una base ortonormal $\{e_i\}$ :

$$A=\sum_{i<j}a_{ij}\,e_i\wedge e_j=\sum_{i<j}a_{ij}\,e_ie_j=\frac12\sum_{i,j}a_{ij}\,e_ie_j.$$

(El producto geométrico $e_ie_j$ es el mismo que el producto de la cuña para $i\neq j$ y para $i=j$ tenemos $e_ie_i=1$ pero $a_{ii}=0$ . La suma de la derecha es $\sum_{i,j}=\sum_{i<j}+\sum_{i=j}+\sum_{i>j}$ .)

En particular en $4$ dimensiones,

$$A=a_{12}e_1e_2+a_{13}e_1e_3+a_{23}e_2e_3+a_{14}e_1e_4+a_{24}e_2e_4+a_{34}e_3e_4.$$

Esto actúa sobre los vectores $b=\langle b\rangle_1=\sum_k b_ke_k$ por

$$b\mapsto \langle Ab\rangle_1$$

$$=\left\langle\sum_{i<j}a_{ij}\,e_ie_j\sum_k b_k\,e_k\right\rangle_1$$

$$=\sum_{i<j}\sum_k a_{ij}b_k\langle e_ie_je_k\rangle_1$$

(utilizando la linealidad de la proyección del grado). Ahora mira los productos de los vectores base. Si $k=j$ entonces tenemos $e_ie_je_j=e_i=\langle e_i\rangle_1$ ; de manera similar, si $k=i$ entonces $e_ie_je_i=-e_je_ie_i=-e_j=\langle-e_j\rangle_1$ . Finalmente si $i,j,k$ son todos diferentes, entonces $e_ie_je_k=\langle e_ie_je_k\rangle_3=e_i\wedge e_j\wedge e_k$ . Estos casos pueden combinarse en

$$\langle e_ie_je_k\rangle_1=e_i(e_j\cdot e_k)-(e_i\cdot e_k)e_j=e_i\delta_{jk}-\delta_{ik}e_j,$$

que es un caso especial de la identidad $\langle(a\wedge b)c\rangle_1=a(b\cdot c)-(a\cdot c)b$ . Así que nuestro producto bivectorial se simplifica a

$$\langle Ab\rangle_1=\sum_{i<j}\sum_k a_{ij}b_k(e_i\delta_{jk}-\delta_{ik}e_j)$$

$$=\sum_{i<j}a_{ij}b_je_i-\sum_{i<j}a_{ij}b_ie_j$$

$$=\sum_{i<j}a_{ij}b_je_i+\sum_{j>i}a_{ji}b_ie_j$$

$$=\sum_{i<j}a_{ij}b_je_i+\sum_{i>j}a_{ij}b_je_i+\sum_i a_{ii}b_ie_i\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$$

$$=\sum_{i,j}a_{ij}b_je_i.$$

Esto es exactamente lo mismo que el producto de la matriz $[a_{ij}]$ con el vector $b$ .

Claramente, dado un bivector o una matriz antisimétrica con componentes $a_{ij}$ podemos construir el otro con estas mismas componentes, y dan el mismo producto con cualquier vector.

---

El dual de Hodge en $n$ dimensiones es la multiplicación con la unidad $n$ -cuchilla $(\pm)e_1e_2e_3\cdots e_n$ . Esto actúa sobre los bivectores en $3$ dimensiones como

$$e_3e_2e_1(a_{12}e_1e_2+a_{13}e_1e_3+a_{23}e_2e_3)=a_{23}e_1-a_{13}e_2+a_{12}e_3$$

(dando lugar a un vector), y en $4$ dimensiones como

$$-e_1e_2e_3e_4(a_{12}e_1e_2+a_{13}e_1e_3+a_{23}e_2e_3+a_{14}e_1e_4+a_{24}e_2e_4+a_{34}e_3e_4)$$

$$=a_{34}e_1e_2-a_{24}e_1e_3+a_{14}e_2e_3+a_{23}e_1e_4-a_{13}e_2e_4+a_{12}e_3e_4$$

(dando lugar a otro bivector).