En primer lugar, ten cuidado aquí:
$$a + b \mid a^{2n-1} + b^{2n-1} \iff a +b \mid (a^{2n-1} + b^{2n-1})(a^2 + b^2).$$
Puedo ver cómo el $\implies$ dirección se mantiene, pero no la $\impliedby$ dirección se mantiene. La implicación $x \mid yz \implies x \mid y$ puede mantenerse bajo ciertos supuestos adicionales, como cuando $\operatorname{gcd}(x, z) = 1$ pero no conozco una condición que se cumpla necesariamente en este caso. Afortunadamente, esto no parece ser un gran problema.
Según su álgebra, tenemos $$a^{2n + 1} + b^{2n + 1} = (a^2 + b^2)(a^{2n - 1} + b^{2n - 1}) - a^2b^2(a^{2n - 3} + b^{2n - 3}).$$ Si asumimos que $a + b$ divide $a^{2n - 1} + b^{2n - 1}$ y $a^{2n - 3} + b^{2n - 3}$ , entonces debe dividir también el lado izquierdo.
Como estamos suponiendo exactamente dos casos anteriores, es importante establecer dos casos base. Piénsalo así: normalmente la inducción funciona intuitivamente demostrando el primer caso, luego usando el primer caso para demostrar el segundo, usando el segundo caso para demostrar el tercero, etc. Se supone que el paso inductivo te da la plantilla para usar un caso para demostrar el siguiente.
Sin embargo, en su prueba, ¿cómo podemos utilizar el $n = 1$ caso para demostrar la $n = 2$ caso? Según el argumento presentado, $$a^3 + b^3 = (a^2 + b^2)(a + b) - a^2 b^2(a^{-1} + b^{-1}),$$ ¡que no es una expresión de enteros! Claro que se puede modificar para convertirla en una expresión de enteros, pero necesita un tratamiento especial. Como tu paso inductivo se basa en dos pasos anteriores, es mejor que te asegures de que tienes dos casos probados.
Por lo tanto, tenga en cuenta que $a + b \mid a + b$ trivialmente y $a + b \mid a^3 + b^3$ , como $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ y el resto se deduce por inducción.
