Rango de los homomorfismos de grupos de Lie

Question

Existe un teorema sobre página 84 de W. Boothby's Una introducción a las variedades diferenciables y a la geometría riemanniana parte de la cual dice lo siguiente:

(6.14) Teorema Si $F : G_{1} \to G_{2}$ es un homomorfismo de Grupos de Lie, entonces el rango de $F$ es constante.

En la prueba, tomamos $a \in G_{1}$ y $b = F(a)$ y entonces por la regla de la cadena tenemos

$$DF(x) = DL_{b}(F(a^{-1}x)).DF(a^{-1}x).DL_{a}(x),$$

y se explica brevemente que como $L_{b}$ es un difeomorfismo y, por tanto, tiene un jacobiano no singular en cada punto, se deduce que "el rango de $F$ es el mismo en $x$ y $a^{-1}x$ por lo tanto, constante".

Parece que no consigo pillar el punto con esta breve explicación, así que agradecería cualquier otra explicación al respecto. Gracias.

Answer 1

Lo que dice el texto es que hasta una modificación por difeomorfismos, el diferencial de un homomorfismo de grupo de Lie es el mismo en todos los puntos. Así que, en particular, el rango del mapa es constante.

La cuestión es que los homomorfismos conmutan esencialmente con las traslaciones a la izquierda, es decir, para cualquier $g\in G_1$ , $$F\circ L_g = L_{F(g)}\circ F.\qquad (1)$$ Esto se deduce directamente de la propiedad de homomorfismo, ya que para cualquier $g,h\in G_1$ , $$F\circ L_g(h) = F(g\cdot h) = F(g)\cdot F(h) = L_{F(g)}\circ F(h).$$ Tomando el diferencial de $(1)$ en la identidad $e\in G_1$ da $$DF_g\circ DL_g = DL_{F(g)}\circ DF_e,$$ por lo que tenemos el diagrama conmutativo entre los espacios tangentes correspondientes $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} \begin{array}{111} T_eG_1 & \ra{DF_e} & T_eG_2\\ \da{DL_{g}} & & \da{DL_{F(g)}}\\ T_gG_1 & \ra{DF_g} & T_{F(g)}G_2 \end{array} $$ Como las traslaciones a la izquierda son difeomorfismos, las diferenciales $DL_{g}$ y $DL_{F(g)}$ son ambas biyecciones lineales, por lo que el rango de $DF_g$ para cualquier punto $g\in G_1$ es exactamente igual al rango de $DF_e$ .