¿Podríamos utilizar Magma para calcular subgrupos de un orden fijo?

Question

Conozco muy poco el software Magma y sé que se puede utilizar en la teoría de grupos. Aquí tengo un problema, ¿alguien podría decirme si se puede calcular con Magma y cómo?

Este es el problema: dado un grupo fijo $G$ Quiero saber el número de sus subgrupos de orden fijo. Por ejemplo, sea $G$ sea un grupo Coxeter de $B_3$ tiene generadores $s_1,s_2,s_3$ con relaciones $s_1^2=s_2^2=s_3^2=(s_1s_2)^4=(s_1s_3)^2=(s_2s_3)^3=1$ . El orden de $G$ tiene 48 años. Quiero saber si podríamos utilizar Magma para calcular el número de subgrupos de orden 8, 16?

Answer 1

Sí se puede hacer esto, siguiendo la documentación del manual de magma podemos hacer https://magma.maths.usyd.edu.au/magma/handbook/text/841

>  G<s1,s2,s3> := Group< s1, s2, s3 | s1^2, s2^2, s3^2, (s1*s2)^4, (s1 * s3)^2, (s2*s3)^3>;
> Order(G);
48
> LowIndexSubgroups(G, <48 div 8, 48 div 8>);
[
Finitely presented group on 2 generators
Index in group G is 6 = 2 * 3
Generators as words in group G
$.1 = s2 * s1
$.2 = s3 * s2 * s1 * s2 * s3 * s1,

Finitely presented group on 3 generators
Index in group G is 6 = 2 * 3
Generators as words in group G
$.1 = s2
$.2 = s1 * s2 * s1
$.3 = s3 * s2 * s1 * s2 * s3 * s1,

Finitely presented group on 2 generators
Index in group G is 6 = 2 * 3
Generators as words in group G
$.1 = s1
$.2 = s3 * s2 * s1 * s2,

Finitely presented group on 3 generators
Index in group G is 6 = 2 * 3
Generators as words in group G
$.1 = s1
$.2 = s2 * s1 * s2
$.3 = s3 * s2 * s1 * s2 * s3 * s2,

Finitely presented group on 3 generators
Index in group G is 6 = 2 * 3
Generators as words in group G
$.1 = s1
$.2 = s2 * s1 * s2
$.3 = s3 * s2 * s1 * s2 * s3,

Finitely presented group on 3 generators
Index in group G is 6 = 2 * 3
Generators as words in group G
$.1 = s1
$.2 = s3
$.3 = s2 * s1 * s2 * s3 * s2 * s1 * s2,

Finitely presented group on 2 generators
Index in group G is 6 = 2 * 3
Generators as words in group G
$.1 = s1
$.2 = s2
]
true
> 
> LowIndexSubgroups(G, <48 div 16, 48 div 16>);
[
Finitely presented group on 3 generators
Index in group G is 3
Generators as words in group G
$.1 = s1
$.2 = s2
$.3 = s3 * s2 * s1 * s2 * s3
]
true

Esto enumera distintas clases de conjugación de subgrupos y nos da generadores en términos de los originales $s_1,s_2,s_3$ . Si sólo queremos el número de clases ponemos un # delante:

> #LowIndexSubgroups(G, <48 div 16, 48 div 16>);
1
> #LowIndexSubgroups(G, <48 div 8, 48 div 8>);  
7

Para obtener el número real de subgrupos, véase el comentario de Derek Holt más arriba.

Answer 2

He aquí una alternativa a la respuesta de Alex:

G<s1,s2,s3> := Group< s1, s2, s3 | s1^2, s2^2, s3^2, (s1*s2)^4, (s1 * s3)^2, (s2*s3)^3>;

f,GG:=CosetAction(G,sub<G|>);

Subgroups(GG:OrderEqual:=16);

Subgroups(GG:OrderEqual:=8);

La primera línea es la misma, para definir el grupo. La segunda convierte el grupo en un grupo de permutación GG (que actúa regularmente sobre sí mismo) con f el isomorfismo de G a GG. Entonces se explica por sí mismo. La ventaja es que hay muchos más algoritmos disponibles para los grupos de permutación que para los grupos finitamente presentados, y a menudo son más rápidos. (Nótese que hay otras formas, a veces mejores, de convertir un grupo en un grupo de permutación, pero esta forma siempre funciona, si magma puede averiguar que el grupo es finito).

Puedes usar f para ir de G a GG y viceversa. Por ejemplo, si añades al final:

(Subgroups(GG:OrderEqual:=16)[1]`subgroup)@@f;

Saldrá:

Grupo de presentación finita sobre 5 generadores

Generadores como palabras en el grupo G

$.1 = s1
$.2 = s2
$.3 = Id(G)
$.4 = (s1 * s2)^2
$.5 = s1 * s3 * s2 * s1 * s2 * s3