¿Cómo calcular la superficie de una esfera que corta dos tapas perpendiculares que se cruzan?

Question

Para un diseño teórico de un casco de fútbol, lo estoy modelando como una esfera de radio r, con una tapa inferior eliminada ( $-y$ dirección) (la distancia entre el centro del casco y el centro de la sección transversal de corte es $ar$ ) para el cuello. También está la zona de la mascarilla, que estoy modelando cortando un gorro que apunta hacia $+x$ dirección cuyo centro es una distancia $br$ del centro del casco. Claramente, $0< a, b < 1$ .

Como no tengo una imagen, voy a proporcionar un caso extremo de lo que estoy buscando. Si $a = b = 0$ entonces el $+y$ , $-x$ hemisferio de la esfera será la izquierda, y la SA en ese caso sería $\frac14 4\pi r^2$ .

Aquí está mi intento hasta ahora:

Puedo encontrar la SA de toda la esfera y de las tapas individuales, pero no puedo restar porque la SA compartida entre las tapas. He pensado en buscar una integral de superficie, pero no he sido capaz de averiguar los límites adecuados. Me encantaría una solución analítica, pero puedo resolver la integral numéricamente si es necesario.

Answer 1

Para simplificar, sólo consideraremos el caso $r = 1$ .

He cambiado la asociación de parámetros $a,b$ de las direcciones $-y$ y $+x$ a las direcciones $+x$ y $+y$ . La fórmula final es la misma ya que es simétrica con respecto a $a$ y $b$ .

Utilizaremos la siguiente versión de Teorema de Gauss Bonnet para calcular el área deseada.

Para cualquier región "poligonal" $\Omega \subset S^1$ cuyo límite $\partial \Omega$ consta de vértices $v_1, v_2, \ldots, v_n$ unidas por suaves curvas $e_1, e_2, \ldots, e_n$ como bordes ( $e_i$ conecta $v_i$ a $v_{i+1}$ , $v_{n+1}$ es un alias de $v_1$ ). Su área viene dada por la fórmula: $$\verb/Area/(\Omega) = 2\pi - \sum_{i=1}^n \Delta(v_i) - \sum_{i=1}^n \int_{e_i} k_g ds$$ donde $\Delta(v_i)$ es el ángulo entre los vectores tangentes de $e_{i-1}$ y $e_{i}$ en el vértice $v_i$ ( $e_0$ es un alias de $e_n$ ). $k_g$ es el curvatura geodésica a lo largo del borde $e_i$ .

Para cualquier $a,b \in \mathbb{R}$ , dejemos que $a' = \frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$ , $b' = \frac{b}{\sqrt{1-b^2}}$ y $c = \sqrt{a^2+b^2}$ .

Dejemos que $X_a$ y $Y_b$ sean los medios espacios $x \ge a$ y $y \ge b$ respectivamente.

Cuando $a^2+b^2 < 1$ , $a', b', c$ son números reales y la intersección de los dos semiespacios anteriores con la esfera unidad, $\Omega = S^1 \cap X_a \cap Y_b$ es no vacía. El límite $\partial \Omega$ consta de dos vértices $v_1 = (a,b,c)$ , $v_2 = (a,b,-c)$ y que tiene dos arcos circulares $e_1$ , $e_2$ como bordes.

• El arco circular $e_1$ conecta $v_1$ a $v_2$ . Vive en un pequeño círculo $S^1 \cap \partial Y_b$ en el avión $y = b$ . Subtiende un ángulo $\pi - 2\tan^{-1}\frac{a}{c}$ con respecto a su centro $(0,b,0)$ . Desde $\int k_g ds$ sobre todo el pequeño círculo $S^1 \cap \partial Y_b$ es $2\pi b$ encontramos $$\int_{e_1} k_g ds = b\left(\pi - 2\tan^{-1}\frac{a}{c}\right)$$

• El arco circular $e_2$ conecta $v_2$ a $v_1$ . Vive en un pequeño círculo $S^1 \cap \partial X_a$ uno el avión $x = a$ . Subtiende un ángulo $\pi - 2\tan^{-1}\frac{b}{c}$ con respecto a su centro $(a,0,0)$ . Desde $\int k_g ds$ sobre todo el pequeño círculo $S^1 \cap \partial X_a$ es $2\pi a$ encontramos $$\int_{e_2} k_g ds = a\left(\pi - 2\tan^{-1}\frac{b}{c}\right)$$

• $e_1$ se encuentra en el plano $y = b$ su vector tangente en $v_1$ señala hacia $(0,1,0) \times (a,b,c) = (c,0,-a)$ .
  $e_2$ se encuentra en el plano $x = a$ su vector tangente en $v_1$ señala hacia $(1,0,0) \times (a,b,c) = (0,-c,b)$ .
  Esto significa que en $v_1$ , los vectores tangentes han girado por un ángulo $$\Delta(v_1) = \cos^{-1}\left[\frac{(c,0,-a)\cdot(0,-c,b)}{\sqrt{(c^2+a^2)(c^2+b^2)}}\right] = \cos^{-1}\left[-\frac{ab}{\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}}\right] = \pi - \cos^{-1}(a'b')$$

• Por simetría, tenemos $\Delta(v_2) = \Delta(v_1)$ .

Combinando todo esto, encontramos

$$\begin{align}\verb/Area/(\Omega) &= 2\pi - 2(\pi - \cos^{-1}(a'b')) - a\left(\pi - 2\tan^{-1}\frac{b}{c}\right) - b\left(\pi - 2\tan^{-1}\frac{a}{c}\right)\\ &= 2\left(\cos^{-1}(a'b') + a\tan^{-1}\frac{b}{c} + b\tan^{-1}\frac{a}{c}\right) - \pi(a+b) \end{align} $$ Aviso si $\theta = \cos^{-1}(a'b')$ entonces $$\cos^2\theta = (a'b')^2 = \frac{(ab)^2}{(1-a^2)(1-b^2)} = \frac{(ab)^2}{c^2+(ab)^2} \implies \cot^2\theta = \left(\frac{ab}{c}\right)^2$$ Con un poco de álgebra, se puede comprobar $\cos^{-1}(a'b') = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\frac{ab}{c}$ . Podemos simplificar la expresión anterior del área a

$$\bbox[padding: 1em;border:1px solid blue;]{ \verb/Area/(\Omega) = \pi(1-a-b) + 2\left(a\tan^{-1}\frac{b}{c} + b\tan^{-1}\frac{a}{c} - \tan^{-1}\frac{ab}{c}\right) }$$

Answer 2

Gran pregunta. Esta no es una respuesta completa, pero es demasiado larga para ser un comentario.

Por comodidad, dejaré que $r=1$ ya que el área se incrementa en $r^2$ . Es posible calcular el área de una de las tapas menos la intersección.

Digamos que es el $x$ tapa, entonces se tiene un círculo de sección transversal con radio $\sqrt{1-a^2}$ paralela a la $yz$ plano, por lo que esta tapa parcial está limitada por $$ a < x < \sqrt{1-y^2-z^2}, \ -\sqrt{1-a^2-y^2} < z < \sqrt{1-a^2-y^2},\ -b < y < \sqrt{1-a^2} $$

Si se define esta superficie como $x = f(y,z) = \sqrt{1-y^2-z^2}$ entonces la superficie viene dada por la integral

$$ \iint \sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial x}{\partial z} \right)^2+1}\ dz\ dy = \int_{-b}^{\sqrt{1-a^2}}\int_{-\sqrt{1-a^2-y^2}}^{\sqrt{1-a^2-y^2}} \frac{1}{\sqrt{1-y^2-z^2}}\ dz\ dy $$

No sé si esto tiene una solución analítica, así que eso lo tienes que averiguar tú.

También se puede calcular el área de intersección integrando $y$ de $-\sqrt{1-a^2}$ a $-b$