Primero lo simplifiqué como $$\log_{12}18=\frac{\log_{9}18}{\log_{9}12}$$ y luego demostró que el numerador $\log_918$ es irracional simplificándolo a $1 + \log_9 2$ y demostrando $\log_9 2$ es irracional por contradicción: dejemos que $\log_9 2$ ser racional así: $$\log_9 2 = \frac{m}{n}$$ $$9^m=2^n$$ que es una contradicción porque está diciendo que un lado es impar y el otro es par. Sin embargo creo que este resultado no es tan útil porque incluso si hago lo mismo para la parte inferior y averiguo si el denominador es racional o irracional, sigo sin poder concluir para la "fracción" original como un todo si es racional o irracional. ¿Qué puedo hacer para llegar a una conclusión sólida sobre el número original en su conjunto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para la contradicción, suponga $\log_{12} 18$ es racional. También hay que tener en cuenta que es positivo. Entonces existen enteros positivos $m,n$ tal que $\log_{12}18=\frac{m}{n}$ . Por definición de $\log$ obtenemos $12^{\frac{m}{n}}=18$ . Eleve ambos lados hasta el $n$ 'El poder: $12^m=18^n$ es decir $2^{2m}\cdot 3^m=2^n\cdot 3^{2n}$ así que por el Teorema Fundamental de la Aritmética, $2m=n$ y $m=2n$ . Pero las dos ecuaciones implican $4n=n$ es decir $4=1$ contradicción.
