Integrar $\int y \ln y \; \mathrm{d}y$

Question

¿Puede mostrarme cómo integrar esto?

$$\int y \ln y \; \mathrm{d}y$$

Intenté la integración por partes pero se está complicando.

Answer 1

Recuerda el siguiente anagrama:

L ogarítmica

I nverse

A lgebraico

T rigonométrico

E xponencial

Esto ayuda a elegir lo que se debe utilizar como su $u$ (con algunas excepciones). En tu integrante, tienes un $y$ (algebraico) y un logaritmo $\ln(y)$ (logarítmico). Por lo tanto, debe establecer $u = \ln(y)$ y $\text{d}v = y\text{ d}y$ . Por lo tanto, utilizando la integración por partes, se obtiene $$\int y\ln(y)\text{ d}y = \ln(y)\cdot \dfrac{y^2}{2}-\int\dfrac{y^2}{2}\cdot \dfrac{1}{y}\text{ d}y = \dfrac{1}{2}y^2\ln(y)-\int\dfrac{1}{2}y\text{ d}y\text{.}$$ La última integral anterior es muy sencilla.

Ver también https://math.berkeley.edu/~ehallman/math1B/IntByParts.pdf , http://www.phys.ttu.edu/~ritlg/cursos/p4307/integración_por_partes/LIATEyTABULAR.pdf .

Answer 2

Has integrado por partes con el término equivocado.

Considere también la posibilidad de dejar $$x = ln(y)$$

Así que $dy = e^xdx$ y $\int y \ln(y)dy = \int e^{2x}xdx$

Lo que hace que las cosas sean más fáciles de ver.

Answer 3

¿Sabe usted integración por partes ?

$$\int fg' = fg - \int f' g.$$

Posemos $f = \log(y)$ y $g' = y$ . Entonces:

$$f' = \frac{1}{y}, g = \frac{1}{2}y^2.$$

Uniendo todo: $$\int y\log(y) dy = \frac{1}{2}y^2\log(y) - \int \frac{1}{y}\frac{1}{2}y^2 dy = \\ \frac{1}{2}y^2\log(y) - \frac{1}{4}y^2 + c. $$

Si $h(y) = y\log(y)$ , entonces llamemos a $H(y) = \frac{1}{2}y^2\log(y) - \frac{1}{4}y^2.$

Cuidado con $0$ ¡¡¡!!!

En efecto, la función $y \log(y)$ no está definido para $y=0$ (qué pasa con el logaritmo cuando $y$ va a $0$ ?). Entonces:

$$\int_0^1 h(y)dy = H(1) - \lim_{y \to 0} H(y).$$

La primera parte es sencilla:

$$H(1) = \frac{1}{2}1^2 \cdot \log(1) - \frac{1}{4}1^2 = -\frac{1}{4}.$$

La segunda parte es "más difícil":

$$\lim_{y \to 0} H(y) = \lim_{y \to 0}\left( \frac{1}{2}y^2\log(y) - \frac{1}{4}y^2\right) = \lim_{y \to 0}\left( \frac{1}{2}y^2\log(y)\right) - 0 = \\ = 0 - 0 = 0.$$

Entonces: $$\int_0^1 h(y)dy = -\frac{1}{4}.$$

Answer 4

Por partes:

$$ \int y \ln y dy = \frac{1}{2} \int \ln y d(y^2) = \frac{ y^2 \ln y }{2} - \frac{1}{2} \int y^2 \frac{dy}{y} = \frac{4y^2 \ln y - y^2}{4} + C$$

Answer 5

$$\int_0^1y\ln ydy={y^2\over2}\ln y-\int_0^1{y^2\over2}{1\over y}dy=\left[{y^2\over2}\ln y\right]_0^1-\left[{y^2\over4}\right]_0^1=\left[{y^2\over2}\left(\ln y-{1\over2}\right)\right]_0^1=\\=\lim_{\epsilon\to0}\left[{y^2\over2}\left(\ln y-{1\over2}\right)\right]_{\epsilon}^1=-{1\over4}$$