Resolver $\vert x-2\vert+2\vert x-4\vert\leq \vert x+1\vert$

Question

Estaba ayudando a alguien con valores absolutos y desigualdades y encontré esta pregunta.

¿Cuál es la forma más fácil de resolver esto?

Lo único que he pensado es añadir el L.H.S y graficarlo con el R.H.S para responder a la questoin ¿hay alguna forma más sencilla de tratar esto?

Gracias

Answer 1

Hay tres puntos de interés: $-1, 2, 4$ . Estos dividen la línea real en cuatro segmentos, por lo que el problema se resuelve con cuatro casos:

Caso 1: $x\ge 4$ . Ahora tenemos $(x-2)+2(x-4)\le (x+1)$ que reordenamos como $2x\le 11$ o $x\le 5.5$ . Desde $x\ge 4$ Esto nos da un abanico de soluciones $4\le x\le 5.5$ .

Caso 2: $2\le x\le 4$ . Ahora tenemos $x-2+2(4-x)\le (x+1)$ que reordenamos como $x\ge 2.5$ . Esto nos da el intervalo $2.5\le x\le 4$ .

Dejo los otros dos casos para que los resuelvas tú.

Answer 2

Un enfoque alternativo no casuístico que implica más cálculos con números más grandes:

Busca primero la igualdad. La cuadratura preserva la igualdad (aunque puede introducir soluciones extrañas que se pueden descartar al final).

$$ \begin{align} (x-2)^2+4|(x-2)(x-4)|+4(x-4)^2 &=(x+1)^2\\ x^2-4x+4+4|(x-2)(x-4)|+4x^2-32x+64 &= x^2+2x+1\\ 4|(x-2)(x-4)| &=-4x^2+38x-67\\ 16x^4-192x^3+832x^2-1536x+1024 &=16x^4-304x^3+1980x^2-5092x+4489\\ 112x^3-1148x^2+3556x-3465 &=0\\ 16x^3-164x^2+508x-495 &=0\\ (4x-9)(2x-5)(2x-11) &=0\\ \end{align} $$ donde la factorización final utiliza el teorema de la raíz racional. Comprobación, $\frac{9}{4}$ no da la igualdad, sino que ambos $\frac{5}{2}$ y $\frac{11}{2}$ hacer. Ahora comprueba la dirección de la desigualdad en $\left(-\infty,\frac52\right)$ , $\left(\frac52,\frac{11}{2}\right)$ y $\left(\frac{11}{2},\infty\right)$ .

Answer 3

Lo has hecho:

$$ x-2\ge 0 \iff x\ge 2 $$ $$ x-4\ge 0 \iff x\ge 4 $$ $$ x+1\ge 0 \iff x\ge -1 $$ por lo que podemos dividir la desigualdad $|x-2|+2|x-4|-|x+1|\le 0$ en cuatro sistemas:

$$ \begin{cases} x<-1\\ 2-x+2(4-x)+x+1\le 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} -1\le x<2\\ 2-x+2(4-x)-x-1\le 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 2\le x<4\\ x-2+2(4-x)-x-1\le 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 4\le x\\ x-2+2(x-4)-x-1\le 0 \end{cases} $$ y la solución de la desigualdad es la unión de las soluciones de estos sistemas.

Con un poco de álgebra se puede ver que los dos primeros sistemas no tienen soluciones, y las soluciones de los otros dos sí: $ \dfrac{5}{2}\le x<4$ y $4\le x \le \dfrac{11}{2}$ , por lo que la solución final es la unión: $\dfrac{5}{2}\le x\le\dfrac{11}{2}$ .

Answer 4

Una respuesta (mayoritariamente) geométrica (lo que significa que utiliza la desigualdad del triángulo):

$$|x-2|+|2x-8|\leq|x+1|\implies|(2x-8)-(x-2)|\leq|x+1|\implies|x-6|\leq|x+1|$$

Así que $x$ tiene que estar al menos tan cerca de $6$ en cuanto a $-1$ . Así que $x\geq2.5$ (su media).

Pero también

$$ \begin{align} |x-2|+|2x-8|\leq|x+1|&\implies|3x-10|\leq|x+1|\\ &\implies9x^2-60x+100\leq x^2+2x+1\\ &\implies8x^2-62x+99\leq0\\ &\implies(4x-9)(2x-11)\leq0\\ &\implies x\in[2.25,5.5] \end{align}$$

En conjunto, es necesario que $x\in[2.5,5.5]$ . Pero esto también es suficiente. Si $x\in[2.5,5.5]$ entonces la desigualdad se reduce a $$x-2+2|x-4|\leq x+1$$ $$\Longleftrightarrow |x-4|\leq \frac32$$ lo cual es cierto para $x\in[2.5,5.5]$ .