Irracionalidad de la suma de dos logaritmos: $\log_2 5 +\log_3 5$

Question

Intento demostrar que el número $$\log_2 5 +\log_3 5$$ es irracional. Pero no tengo ni idea de cómo hacerlo. Cualquier sugerencia es bienvenida.

Answer 1

Las preguntas de este tipo se incluyen en el apartado general de teoría de los números trascendentales . Condicionado por una conjetura importante en este campo llamada La conjetura de Schanuel este número no sólo es irracional sino que trascendental . De hecho, condicionado por la conjetura de Schanuel, es mucho más cierto:

Teorema (condicional): Los logaritmos $\log 2, \log 3, \log 5, \dots$ de los primos son algebraicamente independiente .

Esencialmente esto significa que cualquier función racional de los logaritmos de los primos es trascendental a menos que se pueda simplificar, como función racional, a un número racional. La conclusión se deduce porque su expresión se puede escribir $\frac{\log 5}{\log 2} + \frac{\log 5}{\log 3}$ .

Prueba. Por la factorización única de los primos, los logaritmos de los primos son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$ . Si $p_1, p_2, \dots$ es una enumeración de los primos, entonces por la conjetura de Schanuel se deduce que $\mathbb{Q}(\log p_1, \log p_2, \dots \log p_k)$ tiene grado de trascendencia al menos $k$ Por lo tanto, exactamente $k$ para todos $k$ . $\Box$

Answer 2

Si ambos son racionales, entonces...

$$ \log_2(5)=\frac{m_1}{n_1} \implies 2^{m_1/n_1}= 5 \implies 2^{m_1}=5^{n_1} $$ $$ \log_3(5)=\frac{m_2}{n_2}\implies 3^{m_2/n_2}=5 \implies 3^{m_2}=5^{n_2} $$

La ecuación de la derecha sólo sería cierta si ambos $n,m$ son $0$ pero eso contradice la ecuación de la izquierda ( $n_{1/2}\in\mathbb{N_{/0}},m_{1/2}\in\mathbb{Z}$ )

Para $n,m > 1$ la línea de la derecha no puede ser cierta porque contradice la factorización de primos. (debido a este hecho también podemos ignorar los siguientes casos: $0<n_{1/2}<1<m_{1/2};0<n_{1/2},m_{1/2}<1; 0<m_{1/2}<1<n_{1/2}$

Así que la suma de dos números irracionales ( $i_1, i_2$ ) es racional si $i_1+i_2=\frac{m}{n} $ para $\frac{m}{n}$ siendo la suma racional.

$$ \frac{m}{n}=\log_3(5)+\log_2(5) \implies 2^{m/n}=2^{\log_3(5)+\log_2(5)}\implies $$ $$ 2^{m/n}=5\times2^{\log_3(5)}\implies 2^m=5^{n}\times2^{n\log_3(5)} $$

Y aquí es donde tenemos la siguiente contradicción: El lado izquierdo es siempre racional pero $2^{n\log_3(5)}$ es irracional y también lo es el producto del lado derecho de la última ecuación (porque el producto de un número racional y otro irracional es siempre irracional).

Por tanto, la afirmación es falsa y la suma tiene que ser irracional. Eso sí que era complicado.