La abelianización del grupo libre es el grupo abeliano libre

Question

¿Cómo se demuestra que si $X$ es un conjunto, entonces la abelianización del grupo libre $FX$ en $X$ es el grupo abeliano libre en $X$ ?

Answer 1

He aquí una prueba algebraico-topológica, utilizando :

Teorema de Hurewicz. Para un espacio topológico $X$ el morfismo natural $$ \pi_1(X)^{\rm ab} \to H_1(X) $$ es un isomorfismo.

El grupo fundamental de $\bigvee_{s \in S} \mathbb S^1$ es el grupo libre del conjunto $S$ (utilizando a Van Kampen, por ejemplo). El $1$ -grupo de homología de $\bigvee_{s \in S} \mathbb S^1$ es el libre $\mathbb Z$ -módulo on $S$ (utilizando Mayer-Vietoris, u otro secuencia larga exacta -de la prueba). Así que el teorema de Hurewicz concluye.

Answer 2

Por medio de la propiedad universal:

• Para un conjunto $X$ para cada conjunto mapa $X \to G$ a un grupo, existe un morfismo único $FX \to G$ ampliando el mapa.
• Para un grupo $H$ para cada morfismo $H \to A$ a un grupo abeliano, existe un morfismo único $H_{ab} \to A$ que factoriza el mapa de $H$ .

Combinando estos dos, se ve que para cualquier conjunto mapa $X \to A$ a un grupo abeliano, existe un morfismo único $(FX)_{ab} \to A$ que factoriza el mapa. Esta es precisamente la definición de "propiedad universal" del grupo abeliano libre.

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Otra prueba: $FX$ se presenta como $\langle X : \emptyset \rangle$ por lo que su abelianización se presenta por $\langle X : xy = yx \forall x,y \in X \rangle$ (hecho estándar sobre la abelianización). Esto coincide claramente con el grupo abeliano libre en $X$ .

Answer 3

Dado que tanto el grupo libre como la abelianización son contiguos a la izquierda (y por lo tanto preservan las coproducciones) tendremos hasta el isomorfismo canónico $(FX)^{\mathrm{ab}}=(F\coprod_{x\in X}\left\lbrace x\right\rbrace)^\mathrm{ab}=(\ast_{x\in X}F_1)^{\mathrm{ab}}=\bigoplus_{x\in X}\mathbf{Z}$ , ya que $F_1=\mathbf{Z}$ .

Answer 4

En un recorrido categórico:

Existe el functor de inclusión $U:\mathbf{Ab}\rightarrow\mathbf{Grp}$ y el functor olvidadizo $V:\mathbf{Grp}\rightarrow\mathbf{Set}$ y te interesa en la unión izquierda de la composición $V\circ U:\mathbf{Ab}\rightarrow\mathbf{Set}$ . Esta composición permite construir el grupo abeliano libre sobre el conjunto $X$ en dos pasos. En primer lugar, construir un grupo libre sobre el conjunto $X$ . En segundo lugar, construir un grupo abeliano libre sobre el grupo construido en el primer paso. De hecho, si $F:\mathbf{Set}\rightarrow\mathbf{Grp}$ puede marcarse como unión a la izquierda de $V$ y $K:\mathbf{Grp}\rightarrow\mathbf{Ab}$ como unión a la izquierda de $U$ entonces $K\circ F:\mathbf{Set}\rightarrow\mathbf{Ab}$ puede marcarse como unión a la izquierda de $V\circ U$ . Esta es una afirmación general y es bueno saberlo. Si $G$ es un objeto en $\mathbf{Grp}$ entonces el $K\left(G\right):=G/\left[G,G\right]$ es un objeto en $\mathbf{Ab}$ libre sobre $G$ . Para $G=F\left(X\right)$ obtendremos $F\left(X\right)/\left[F\left(X\right),F\left(X\right)\right]$ como grupo abeliano libre sobre el conjunto $X$ .

Answer 5

Otro enfoque:

Pruebe con la siguiente monada

Lema: Un elemento en $\;F(X)\;$ , escrito como una palabra $\;w(x)=x_i^{a_i}\cdot\ldots\cdot x_j^{a_j}\;,\;\;x_k\in X\;,\;\;a_k\in\Bbb Z$ pertenece al grupo de conmutadores $\;F(X)'\;$ si la suma de exponentes de cada elemento de $\;X\;$ es cero, es decir: si denotamos por

$$\;E_x^w:=\{n\in\Bbb Z\;;\;n\;\;\text{appears as exponent of the letter}\;\;x_i\;\;\text{in the word}\;\;w\}\;$$

entonces

$$\sum_{n\in E^w_x}n=0\;\;,\;\;\forall\,x\;\;\text{in the word}\;\;w$$

Por ejemplo, el elemento $\;x^2yx^{-1}zx^{-1}y^2z^{-1}y^{-3}\;$ pertenece a $\;F(x,y,z)'\;$ pero $\;xzy^{-2}x^{-3}\;$ no lo hace.

Dejar $\;F(X)\,,\,A(X)\;$ sea el grupo libre (abeliano libre) sobre el conjunto $\;X\;$ , respectivamente, definen

$$f:X\to A(X)\;,\;\;f(x):=x$$

Por la propiedad universal de $\;F(X)\;$ existe un homomorfismo único $\;\phi: F(X)\to A(X)\;$ ampliando $\;f\;$ y si $\;w(x)\;$ es una palabra en las "letras" (elementos) de $\;X\;$ obtenemos que (escribiendo todo multiplicativamente)

$$1=\phi(w(x)) = w(f(x)) \iff \;\text{ the exponent sum of each letter in the word $ \;w\; $ is zero}$$