La transformación de Möbius es la misma si existe una constante

Question

Dejemos que $T_{1} = \frac{az+b}{cz+d}$ , $T_{2}=\frac{a'z+b'}{c'z+d'}$ sean dos transformaciones de Möbius. Demostrar que $T_{1}(z)=T_{2}(z)$ , $\forall z\in\mathbb{C}_{\infty}$ si y sólo si existe $\lambda\neq 0$ tal que $a=\lambda a'$ , $b=\lambda b'$ , $c=\lambda c'$ , $d=\lambda d'$ .

$(\Leftarrow)$ Está claro que $z_{0} = -\frac{b}{a}$ es tal que $T_{0}(z_{0})=0$ entonces $T_{1}(z_{0})=0$ y el mismo argumento funciona para ver que si $z_{1,2}$ son tales que si $T_{1}(z_{1})=\infty$ entonces $T_{2}(z_{1})=\infty$ y, si $T_{1}(z_{2})=1$ entonces $T_{2}(z_{2}) =1$ . Una transformación de Möbius tiene a lo sumo dos puntos fijos por lo que $T_{1}=T_{2}$ .

Tengo algunos problemas para probar la otra implicación. Usando el mismo argumento, tengo que $-\frac{b}{a} = -\frac{b'}{a'}$ pero no sé cómo probar la existencia de $\lambda$ . ¿Puede alguien ayudarme? ¡Gracias antes!

Answer 1

Idea: si $T_1 = T_2$ :

$$ac'z^2 + (ad' + bc')z + bd' = (az + b)(c'z + d') = (a'z + b')(cz + d) = a'cz^2 + (a'd + b'c)z + b'd.$$ Los polinomios iguales tienen los mismos coeficientes. Forma inicial $bd' = b'd$ y definir $\lambda = b/b' = d/d'$ (qué pasa si $b' = 0$ ou $d' = 0$ ?).