Georg Cantor es formalmente conocido como el primero que descubrió la existencia de infinitos de diferentes tamaños. Pero la historia del concepto de "infinito" en matemáticas y filosofía se remonta a la antigüedad.
Pregunta: ¿Hubo alguien (matemático, filósofo, etc.) antes de ¿Cantor que mencionó (o conjeturó) la existencia de infinitos de diferentes tamaños, incluso si afirmó esta afirmación de manera informal? Por favor, introduzca sus referencias.
Ver La paradoja de Galileo con la transalción al inglés de la parte correspondiente de
Simples. Aquí surge inmediatamente la duda, que me parece insoluble: y es que si estamos seguros de que una línea es mayor que la otra, siempre que ambas contengan puntos infinitos, debemos confesar que se encuentra algo mayor que el infinito en el mismo género, porque la infinidad de los puntos de la línea mayor excederá a la infinidad de los puntos de la línea menor. Ahora bien, este concepto de un infinito mayor que el infinito me parece un concepto que no se puede entender de ninguna manera.
Salv. Estas son algunas de las dificultades que surgen del discurso que tenemos con nuestro intelecto finito sobre los infinitos, dándoles los atributos que damos a las cosas finitas y acabadas; lo cual me parece inconveniente, porque creo que estos atributos de mayoría, minoría e igualdad no se aplican a los infinitos, de los que no se puede decir que uno sea mayor o menor o igual que el otro. Como prueba de ello, ya me he encontrado con un discurso de este tipo, que propondré al Sr. Simplicio, que ha planteado esta dificultad, para que lo explique con mayor claridad.
Aquí la traducción al inglés [de Wikipedia : Galileo Galilei, Diálogos sobre dos nuevas ciencias , traduce. Crew y de Salvio (reimpresión Dover, 1954), pp.31-33] :
Simplicio : Aquí se presenta una dificultad que me parece insoluble. Puesto que está claro que podemos tener una línea mayor que otra, cada una de las cuales contiene un número infinito de puntos, nos vemos obligados a admitir que, dentro de una misma clase, podemos tener algo mayor que el infinito [énfasis añadido], porque la infinidad de puntos de la línea larga es mayor que la infinidad de puntos de la línea corta. Esto de asignar a una cantidad infinita un valor mayor que el infinito está muy lejos de mi comprensión.
Salviati : Esta es una de las dificultades que surgen cuando intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir el infinito, asignándole aquellas propiedades que damos a lo finito y limitado; pero esto creo que es erróneo, pues no podemos hablar de cantidades infinitas como si fueran una mayor o menor o igual que otra. Para demostrar esto tengo en mente un argumento que, en aras de la claridad, expondré en forma de preguntas a Simplicio, quien planteó esta dificultad.
[...]
Sagredo : ¿Qué hay que concluir entonces en estas circunstancias?
Salviati : Por lo que veo, sólo podemos inferir que la totalidad de todos los números es infinita, que el número de cuadrados es infinito y que el número de sus raíces es infinito; ni el número de cuadrados es menor que la totalidad de todos los números, ni éste es mayor que aquélla; y, finalmente, los atributos "igual", "mayor" y "menor" no son aplicables a cantidades infinitas, sino sólo a finitas. Por lo tanto, cuando Simplicio introduce varias líneas de diferentes longitudes y me pregunta cómo es posible que las más largas no contengan más puntos que las más cortas, le respondo que una línea no contiene más o menos o tantos puntos como otra, sino que cada línea contiene un número infinito.
Así que la conclusión de Galileo fue no una teoría pre-cantoriana de infinitos de diferente tamaño, pero el claro entendimiento de que algunas "propiedades" de finito Las "magnitudes" (como : "igual", "mayor" y "menor") no son aplicables a los infinitos.
Esta discusión sobre el Paradoja del infinito se remonta a la filosofía medieval; véase Nicole Oresme utilizando
el principio de correspondencia uno a uno [para demostrar] que la colección de números naturales Impares no es más pequeña que la colección de números naturales, porque es posible contar los números naturales Impares por los números naturales [para 2.6 Matemáticas y también la referencia a Bearwardine].
Oresme muestra que de dos infinitos reales ninguno es mayor o menor que el otro. [...] El resultado de Oresme no implica necesariamente la igualdad entre infinitos reales. Además, Oresme muestra que se pueden concebir casos en los que dos infinitos pueden considerarse desiguales, pero esta desigualdad no debe entenderse en el sentido de "menor" o "mayor" (Oresme no se contradice), sino en el sentido de "diferente".
Dado que las cantidades comparables son iguales entre sí o una es menor o mayor que la otra, Oresme concluye que los infinitos reales son incomparables: es decir, que nociones como "menor", "mayor" e "igual" no se aplican a los infinitos.
La afirmación de que Cantor fue el primero en tratar con infinitos de diferentes tamaños es un poco engañosa. Esto puede ser cierto en el contexto de la teoría de conjuntos que él introdujo, pero hay diferentes maneras de formalizar el infinito. Dos siglos antes de Cantor, Leibniz se ocupó de una jerarquía de números infinitos (inversos de su jerarquía de infinitesimales $dx$ , $dx^2$ etc.) en su tratamiento del cálculo infinitesimal. Una de las obras que tratan este tema es su texto Cum Prodiisset de 1701; otro es su texto sobre la ley trascendental de la homogeneidad que data de 1710. Ésta y otras cuestiones relacionadas se analizan en este artículo en la revista Notices AMS .
Según esta referencia En el año 400 a.C., los matemáticos jainistas distinguían entre cinco tipos de infinito: infinito en una dirección, infinito en dos direcciones, infinito en área, infinito en todas partes e infinito perpetuo.
Por supuesto, esta no es una distinción del todo adecuada, sin embargo se podría decir que lo perpetuamente infinito es distinto de lo espacialmente infinito, por lo que pueden tener correctamente identificó dos infinitos diferentes.
En cuanto a Cantor, su bien documentado comentario - "Lo veo pero no lo creo"- parece sugerir que creía ser el primero en explotar estas ideas (formalmente).
En la antigua India, Mahavira El fundador de Jainismo se acercó mucho a la noción moderna de "diferentes tamaños de infinitos". En la parte matemática de Filosofía jainista Hay varios tipos de infinitos.
Citado de Wikipedia:
El texto matemático jainista Surya Prajnapti (c. 400 a.C.) clasifica los números en tres conjuntos: enumerables, innumerables e infinitos. Cada uno de ellos se subdivide a su vez en tres órdenes:
- Enumerable: mínimo, intermedio y máximo
- Innumerable: casi innumerable, verdaderamente innumerable e innumerablemente innumerable
- Infinito: casi infinito, verdaderamente infinito, infinitamente infinito
Los jainistas fueron los primeros en descartar la idea de que todos los infinitos eran iguales o estaban en el mismo nivel. Reconocieron diferentes tipos de infinitos: infinito en longitud (una dimensión), infinito en área (dos dimensiones), infinito en volumen (tres dimensiones) e infinito perpetuo (número infinito de dimensiones).
Según Singh ( $1987$ ), Joseph ( $2000$ ) y Agrawal ( $2000$ ), el mayor número enumerable $N$ de los jainistas se corresponde con el concepto moderno de aleph-null $\aleph_0$ (el número cardinal del conjunto infinito de enteros $1, 2, ...$ ), el menor número cardinal transfinito. Los jainistas también definieron todo un sistema de números cardinales infinitos, de los cuales el mayor número enumerable $N$ es el más pequeño.
En la obra jainista sobre la teoría de los conjuntos, se distinguen dos tipos básicos de números infinitos. Tanto por motivos físicos como ontológicos, se distinguía entre asamkhyata ("incontable, innumerable") y ananta ("interminable, ilimitado"), entre infinitos rígidamente acotados y libremente acotados.
Para más explicaciones, véase también este enlace .
Bernard Bolzano (1781-1848) distinguió diferentes infinitos, por ejemplo, hay el doble de focos de elipses que de centros de elipses. Hay infinitamente más diámetros de círculos que centros de círculos. J. Berg (ed.): Bernard Bolzano, Wissenschaftslehre §§ 1-45, Friedrich Frommann Verlag, Stuttgart (1985), Bolzano-Gesamtausgabe, Serie I Vol. 11,1, pp. 31f
Bolzano no aceptaba las biyecciones infinitas como medio para medir los infinitos, sino que aplicaba razonamientos basados en el análisis como el siguiente Para cada segmento inicial finito de números naturales hay aproximadamente un 50 % de números pares. Esto se mantiene mejor cuanto mayor es el segmento. Por lo tanto, también se mantiene en el límite.
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