evaluar mediante coordenadas esféricas

Question

$$\int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int_{-\sqrt{4-x^2-y^2}}^0 z(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}\, dzdydx $$

Necesito evaluar esto usando coordenadas esféricas.

Mi configuración:

$$\int _{0}^2\int _{0}^{\pi/2} \int _{0}^{2\pi} z(\rho^2)^{\frac{3}{2}}\, \rho^2\sin(\phi)d\rho d\phi d\theta $$ puede alguien ayudarme a editar esta última ecuación

Answer 1

Vas por buen camino. Recordemos que en el sistema de coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)$ , $z=r\cos(\theta)$ , $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ y $dx\,dy\,dz\to r^2\sin(\theta)\,dr\,d\theta\,d\phi$ .

Entonces, podemos escribir la integral $I$ como

$$\begin{align} I&=\int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int_{-\sqrt{4-x^2-y^2}}^0 z(x^2+y^2+z^2)^{3/2}\,dz\,dy\,dx\\\\ &=\int_0^{2\pi}\int_{\pi/2}^\pi\int_0^2 (r\cos(\theta))\,r^3\,r^2\,\sin(\theta)\,dr\,d\theta\,d\phi\\\\ &=(2\pi)\left(\int_{\pi/2}^\pi \sin(\theta)\cos(\theta)\,d\theta\right)\left(\int_0^2 r^6\,dr\right) \end{align}$$