Factores de p-1 cuando p es primo.

Question

Hola,:

No tengo ni idea de dónde buscar, así que espero que puedas darme algunos consejos.

Me interesan los números del formulario $p-1$ cuando $p$ es un número primo. ¿Tienen un nombre, para que pueda buscarlos en Google?

Más precisamente, me interesan sus factores. Ok, obviamente 2 es un factor, pero ¿qué pasa con los otros? ¿Hay muchos factores pequeños? ¿Conocemos la tasa de crecimiento de su factor mayor, es lineal, logarítmica?

-Gracias.

Answer 1

Estos números tienen muchos factores. Escriba $\omega(n)$ para el número de factores primos distintos de $n$. Luego, Halberstam demuestra (MR0073627) que

$\sum_{p \leq X} \omega(f(p)) \log{p}\sim X \log{\log{X}}$

donde $f(x)$ es cualquier polinomio irreductible fijo con coeficientes integrales que no es idénticamente un múltiplo entero de $x$; en particular esto se aplica con $f(x)=x-1$. Por lo tanto, $p-1$ tiene, en promedio, $\log{\log{p}}$ divisores primos distintos.