Felix Klein, al hablar de cómo sube y baja la popularidad de las áreas en las matemáticas, menciona que en su juventud las funciones abelianas estaban en la cumbre de las matemáticas, y que más tarde su popularidad cayó en picado. Apenas he podido encontrar nada en la red sobre las funciones abelianas y la Wikipedia cree que apenas merece la pena mencionarlas. ¿En qué consistía la teoría de estas funciones en el siglo XIX y por qué era tan importante?
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Jim Ford
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Recordemos la perorata de C. L. Siegel, sobre que la teoría moderna de las funciones abelianas no tiene ninguna función.
Desde un punto de vista que habría tenido sentido para Weierstrass, las matemáticas tienen "teoremas de adición", como el que se encuentra por primera vez para el pecado y el cos. Un logro del siglo XIX fue clasificar estos teoremas de adición, en "varias variables" (que eran por supuesto variables complejas para aquellos tipos), que eran "algebraicos". Comillas de miedo no demasiado serias: este es uno de los orígenes de la actual teoría de los grupos algebraicos. En una primera aproximación, la teoría de los grupos algebraicos proyectivos es la teoría de las funciones abelianas. De hecho, Riemann había escrito suficientes funciones theta para que las funciones abelianas pudieran expresarse en términos de sus cocientes. Todo esto era un gran y muy buscado marco general que ampliaba las funciones elípticas. La razón para hacerlo era que, por ejemplo, las integrales indefinidas de las raíces cuadradas de los cúbicos y los cuárticos debían tener su excelente teoría extendida a los quínticos y más allá.
Resulta que las funciones abelianas en al menos dos variables no son el festival de fórmulas que es la teoría de las funciones elípticas. Pero no por falta de esfuerzo. Tenemos el marco conceptual y geométrico en la teoría de las variedades abelianas. Hay distinguidos matemáticos que te dirán que no escribas funciones explícitas. Pero hay mucho trabajo, por ejemplo, estimulado por la teoría de los solitones, el cálculo explícito en curvas de pequeño género, etc.
Para una respuesta realmente detallada a su pregunta, consulte El legado de Niels Henrik Abel editado por O.A. Laudal y R. Piene (Springer 2004). En particular, hay un largo artículo introductorio de Christian Houzel, cuya mayor parte puede verse aquí .
Adenda. El artículo completo "La obra de Niels Henrik Abel" de Christian Houzel se puede encontrar aquí .
