Dada una función $S=S\{Y[X(r)]\}$ ¿es válida la siguiente "regla de la cadena"?
$$\frac{\delta S\{Y[X]\}}{\delta X(r)}=\frac{\partial Y(r)}{\partial X(r)}\frac{\delta S[Y]}{\delta Y(r)}$$
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La regla de la cadena para la diferenciación funcional no es más que la generalización en continuo de la regla de la cadena habitual para la diferenciación de una función de muchas variables $f(y_1,y_2,\ldots,y_N) = f(\mathbf{y})$ que dice $$ \frac{\partial f(\mathbf{y})}{\partial x_i(\mathbf{y})} = \sum\limits_{j=1}^N\frac{\partial y_j}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial y_j}. $$ El límite del continuo equivale a enviar el número de variables $N\to\infty$ y definir un nuevo índice continuo $r$ tal que $j\to rN$ . Entonces sólo hay que cambiar la notación para que esté de acuerdo con la naturaleza continua del nuevo índice $r$ Por ejemplo $x_j \to X(r)$ , $f(\mathbf{x}) = f(\{x_j\}) \to F[X(r)]$ etc. En nuestro ejemplo, esto significa sustituir la suma anterior sobre el índice discreto $j$ por una integral sobre un índice continuo, encontrando la regla de la cadena para la diferenciación funcional: $$\frac{\delta F[Y]}{\delta X(r)} = \int \mathrm{d}s\,\frac{\delta Y(s)}{\delta X(r)}\frac{\delta F[Y]}{\delta Y(s)}.$$ Puedes obtener cualquier identidad de cálculo funcional que quieras en la misma línea. Piensa en lo que ocurre en el cálculo multivariante ordinario con un número finito de variables. Luego lleva el número de variables al infinito.
archie
Puntos
26
Sí, existe una regla de la cadena para las derivadas funcionales. Pero no es una generalización directa de la regla de la cadena para las funciones, por una sencilla razón: las funciones pueden ser compuestas, los funcionales (definidos como mapeos de un espacio de funciones a un campo) no.
Consideremos la función escalar $f: (y_1,...,y_n) \mapsto g(x_1(\mathbf{y}),...,x_n(\mathbf{y}))$ que es la composición de $g$ con las funciones de coordenadas $x_i(\mathbf{y})$ .
La derivada parcial de $f$ con respecto a $y_j$ en el punto $\mathbf{y}$ viene dada por la regla de la cadena
$$ \frac{\partial f (\mathbf{y}) }{\partial y_j}= \sum_{i = 1}^N \frac{\partial g(\mathbf{x}(\mathbf{y}))}{\partial x_i} \frac{\partial x_i(\mathbf{y})}{\partial y_j}. $$
Ahora, la generalización continua de las funciones de coordenadas $x_i$ es la familia de funcionales de un parámetro
$$ \lambda(s) = \Lambda[f;s], \quad s \in \mathbb{R}, $$
donde $\Lambda[f;s]$ significa que $\Lambda$ es una función de $f$ y una función de $s$ .
Un funcional $G$ sólo puede actuar sobre $\Lambda$ considerado en función del parámetro $s$ . Por lo tanto, $G[\Lambda[f;s]]$ debe entenderse como $G[\lambda]$ . En contra de lo que afirman muchos libros de texto de física, no existe el funcional de un funcional.
Dado que una variación de $f$ cambiará el valor de $\lambda$ En última instancia, el resultado es una variación de $G$ . Por lo tanto, $G[\Lambda[f;s]]=G[\lambda]$ puede considerarse como una función $F[f]$ . La derivada funcional parcial de $F$ con respecto al cambio local de $f$ en $x$ viene dada por [1] Apéndice A :
$$ \frac{\delta F [f]}{\delta f (x)} = \int \mathrm{d} y \frac{\delta G [\lambda]}{\delta \lambda (y)} \frac{\delta \Lambda [f ; y]}{\delta f (x)} . $$
Es la generalización de la regla de la cadena para los funcionales.
[1] E. Engel, R.M. Dreizler, Density Functional Theory: An Advanced Course, Springer Science & Business Media, 2011.
