Convergencia uniforme de series geométricas

Question

¿Cómo muestro que la serie geométrica $\sum_{k=0}^\infty x^k$ converge uniformemente en cualquier intervalo $[a,b]$ para $-1 < a < b < 1$?

La prueba de Cauchy dice que $\sum_{k=0}^\infty x^k$ converge uniformemente si, por cada $\varepsilon>0$, existe un número natural $N$ de modo que para cualquier $m,n>N$ y todo $x\in[a,b]$, $|\sum_{k=0}^m x^k - \sum_{k=0}^n x^k|<\varepsilon$.

La condición más a la derecha se simplifica a $|\sum_{k=m}^n x^k|<\varepsilon$, pero no veo a dónde ir a partir de ahí. Me doy cuenta de que esto es probablemente una aplicación directa de definiciones, pero estoy realmente perdido aquí.

Answer 1

Por cada $x$ tal que $|x|\lt1$, $\sum\limits_{k=n}^{+\infty}x^k=\frac{x^n}{1-x}$ y $\left|\frac{x^n}{1-x}\right|\leqslant\frac{|x|^n}{1-|x|}$. Por lo tanto, $ $ \sup\limits_{x\in[a,b]}\,\left|\sum\limits_{k=n}^{+\infty}x^k\right|\ leqslant\frac{r^n}{1-r}\underset{n\to\infty}{\ longrightarrow}0, $ $ with $r=\max\{|a|,|b|\}\lt1$, lo que demuestra la convergencia uniforme en $[a,b]$.

Answer 2

Parece que lo estás haciendo bien, a tu manera funcionará. La suma de $m$ a $n$ es una serie geométrica finita con el primer término $x^m$ y la proporción común $x$. Su suma es igual a $$\frac{x^m(1-x^{n+-m+1})}{1-x}.\tag{$1$}$$ Ahora es sólo cuestión de hacer $|x^m|$ pequeño. ¿Qué tan pequeño? Tenga en cuenta que $1-x\gt 1-b$ y $0\lt 1-x^{n+1-m}\lt 2$.

Let $c=\max(|a|,|b|)$, y let $c=\frac{1}{1+d}$. Si $m\ge 1$, entonces por el teorema binomial, o más simplemente por la desigualdad de Bernoulli, tenemos $(1+d)^m \ge 1+dm$.

Así que si $|x|\le c$, obtenemos $|x^m|\lt \frac{1}{1+dm}$. Ahora no debería ser difícil encontrar el $m$ apropiado.