¿Por qué el predicado "all" como en all(SET) es verdadero si el SET está vacío?

Question

¿Puede alguien explicar por qué el predicado all es verdadera para un conjunto vacío? Si el conjunto está vacío, no hay elementos en él, por lo que en realidad no hay elementos a los que aplicar el predicado? Así que me parece que debería ser falso en lugar de verdadero.

Answer 1

Se basa en la Ley del Medio Excluido. La afirmación en sí misma es VERDADERA o FALSA, en un sentido o en otro, no en ambos, ni en ninguno.

Supongamos que estoy afirmando "Para cada $x\in S$ propiedad $P(x)$ sostiene". ¿Cómo pudiste declararme mentiroso? Usted tendría que producir un elemento del conjunto ( $S=\varnothing$ en este caso) que hace no tienen la propiedad $P(x)$ . Sólo entonces puede declarar FALSA mi afirmación. Como no puede hacerlo aquí, mi afirmación es VERDADERA. Esencialmente dije la verdad al NO decir una mentira.

Answer 2

"Todos mis hijos son estrellas del rock".

"Si repasamos la lista de mis hijos, uno por uno, nunca encontrarás uno que no sea una estrella del rock".

¿Quiere que las dos frases anteriores signifiquen lo mismo?

Además, ¿quieres

"No todos mis hijos son estrellas del rock".

para significar lo mismo que

¿"Al menos uno de mis hijos no es una estrella del rock"?

Porque en la situación de que no tengo hijos, la última afirmación es falsa, así que querríamos que "todos mis hijos son estrellas de rock" fuera cierta para preservar la dicotomía.

Answer 3

Podría tomarse al revés, pero es más sencillo así.

Supongamos que creemos que todos los rubíes son rojos y consideramos una colección de rubíes llamada $R$ ; decir $R$ es todo mi rubíes.

Nos gustaría concluir que todos mis rubíes son rojos. Esto parece muy razonable, ya que todos los rubíes son rojos. Pero con tu idea, ¡esta conclusión podría ser falsa! Como mucho podemos decir que todos mis rubíes son rojos, si tengo rubíes .

Esta calificación no aporta nada al análisis. No ilumina ningún punto sutil. Sólo complica la discusión con un caso especial sin interés.

Dado que el propósito de la lógica formal es modelar el razonamiento plausible de la forma más estrecha y sencilla posible, aceptamos la convención de que "todos mis rubíes son rojos" se considera cierto incluso cuando no tengo rubíes, para que no tengamos que calificar un montón de afirmaciones con " si existen tales rubíes".

Answer 4

Otro enfoque: la "verdad vacua" para $\forall$ es aproximadamente el equivalente lógico de un producto vacío definido como 1 o una suma vacía definida como 0. Del mismo modo que queremos que $\sum_{i=1}^{n+1} a_i = a_{n+1} + \sum_{i=1}^{n} a_i$ (y quieren que esto se cumpla en todos los casos, incluso en el "caso base" en el que $n=0$ ) y desea $\prod_{i=1}^{n+1} a_i = a_{n+1}\cdot \prod_{i=1}^{n} a_i$ también queremos $\forall x\in (S\cup \{z\})\ P(x) \Longleftrightarrow \bigl(\ (\forall x\in S\ P(x))\ \wedge P(z)\bigr)$ incluso en el "caso base", en el que $S$ está vacía. Usted debe ser capaz de convencerse a sí mismo (a través de algunos relativamente sencilla manipulación lógica) que esto es requiere la definición de $\forall x\in\emptyset \ P(x)$ para todos los predicados $P()$ .

Answer 5

Tiene sentido. Si he entendido bien, creo que usted quiere probar:

$\forall x (x\in \phi \rightarrow Q)$

donde:

$\forall x (x\notin \phi)$

Q es cualquier proposición.

Pruebas: Supongamos $y\in \phi$ . Queremos demostrar que $Q$ es verdadera para cualquier proposición $Q$ lo que sea. Supongamos por el contrario que $Q$ es falso.

Aplicando la definición de $\phi$ a $y$ obtenemos la contradicción $y\notin \phi$ . Por lo tanto, por contradicción, $Q$ debe ser verdad. Lo es:

$y\in \phi \rightarrow Q$

Generalizando, obtenemos

$\forall x (x\in \phi \rightarrow Q)$