Cómo mostrar que el conjunto de puntos de continuidad es una $G_{\delta}$

Question

Estoy tratando de resolver este ejercicio de Royden de la 3ª edición.

La pregunta es la siguiente: Vamos a $f$ ser un valor real de la función definida para todos los números reales. Mostrar que el conjunto de puntos en el que $f$ es continua es una $G_{\delta}$.

Deje $$A_n = \{y : \text{there is a }~\delta_y \gt 0 : |f(s)-f(t)|\lt 1/n ~ \text{whenever}~ s,t \in (y-\delta, y+\delta)\}\;.$$

Entonces, por la definición de bloques abiertos, $A_n$ está abierto.

Para completar la prueba, necesito ayuda en demostrar que las $f$ es continua en decir $x$ si y sólo si $x\in \cap A_n$.

Si $f$ es continua en a $x$, hay un $\delta \gt 0$ tal que $|f(x) - f(a)| \lt 1/n$ siempre, $x\in (a-\delta, a+\delta)$. por lo $x \in A_n$ hijo debe ser en $\cap A_n$.

Gracias.

Answer 1

Si $f$ es continua en a $x$ existe $\delta_x$ tal que $$ |f(s) - f(x)| \ < \dfrac{1}{2n} \ \text{cuando} \ s \(x \delta x + \delta) $$ Por lo tanto, si $s,t \in (x - \delta, x + \delta)$ hemos $$ |f(s) - f(t)| \le |f(s) - f(x)| + |f(x) - f(t)| \le 1 /n \ \text{cuando} \ s,t \(x \delta x + \delta) $$

Answer 2

Un punto de $x \in \bigcap_n A_n$ fib, para cada $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $|f(t)-f(s)|<\varepsilon$ siempre $x-\delta < s \leq t < x+\delta$. Pero esta condición, a través de algunos desigualdad triangular, es simplemente la definición de continuidad en el punto de $x$.