Supongamos que tengo una serie $\sum_{n = 0}^{\infty} f_{n}(x)$ que converge absolutamente a una función $f(x)$. ¿La serie converge uniformemente a $f(x)$? Quiero decir que esto se desprende del Teorema de Dini, pero no puedo ver cómo.
Respuesta
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Matthew Scouten
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En vista de la referencia a Dini se podría preguntar, ¿qué pasa si todos $f_n$ y $f$ son funciones continuas en un conjunto compacto $K$? Por lo tanto, si todos $f_n \ge 0$, Dini diría que la convergencia es uniforme en $K$. Pero sin esa hipótesis no es verdad. Considere $K=[0,1]$ donde
$f_{2n-1}$ es la interpolación lineal a trozos de $f_{2n-1}(0) = 0$, $f_{2n-1}(1/(2n)) = 1$, $f_{2n-1}(1/n) = 0$, mientras que $f_{2n-1}(1) = 0$. Entonces
$f_{2n}(x) = - f_{2n-1}(x)$ converge absolutamente a $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ pero las sumas parciales impares tienen el valor máximo 1.
