demuestran que un mapa continuo $f: [0,1) \to \mathbb R$ es uniformemente continua si existe una continua $g: [0,1] \to \mathbb R$ que está de acuerdo con $f$

Question

Demostrar que una función continua $f: [0,1) \to \mathbb R$ es uniformemente continua si existe $g: [0,1] \to \mathbb R$ una función continua que coincide con $f$ en $[0,1)$ .

No estoy seguro de cómo procedería para la dirección de avance. La dirección hacia atrás es obvia, ya que si tal $g$ existe, entonces la compacidad de $[0,1]$ implicaría la continuidad uniforme de $g$ y por lo tanto $f$ . Estaba considerando tomar el límite de $f(x)$ como $x$ se acerca a $1$ pero no estaba seguro de cómo utilizar el hecho de que $f$ es uniformemente continua. ¿Y si $f$ ¿es sólo continua y no uniformemente continua?

Answer 1

Dejemos que $f: [0,1) \to \mathbb R$ sea uniformemente continua.

( Motivación: Queremos demostrar que $\lim_{x \to 1} f(x)$ existe. Está claro que no podemos determinar el límite real. Eso es un indicador de que el integridad de los números reales podría ser útil: Garantiza la convergencia de las secuencias de Cauchy sin hacer una declaración sobre el límite).

Para cualquier secuencia $(x_n)_n$ en $[0,1)$ con $x_n \to 1$ , $(f(x_n))_n$ es un Secuencia de Cauchy y, por tanto, convergente.

De ello se desprende que $\lim_{x \to 1} f(x)$ existe, por lo que $g:[0,1] \to \Bbb R$ definido por $$ g(x) = \begin{cases} f(x)& \text{for } 0 \le x < 1 \\ \lim_{x \to 1} f(x) & \text{for } x = 1 \end{cases} $$ es continua.