Formular las hipótesis pertinentes y la estadística de prueba (incluida su distribución)

Question

Un fabricante de bombillas para transbordadores espaciales afirma que la tasa de defectos de las bombillas es $0.1\%$ . Sospecha que la tasa de defectos es realmente mayor, por lo que ha comprobado $1000$ bombillas idénticas de este fabricante y descubrí que 3 de ellas son defectuosas.
Formular las hipótesis pertinentes y la estadística de prueba (incluida su distribución) e investigar la afirmación del fabricante a nivel de significación $ = 0.05$ .

Tengo problemas para averiguar qué distribución es, en mi opinión, es una distribución de Poisson pero no estoy seguro, ¿alguien puede confirmarlo?
Para la hipótesis, es correcto suponer que $H_0:\mu=1$ , $H_1:\mu>1$ ?
Entonces, ¿cómo puedo utilizar el nivel de significación con una distribución de Poisson? (Sé cómo resolverlo pero con una Normal) :(

Editar:

$P(X\ge3)=1-P(X<3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))$

Para un $Bin(n,p)$ $P(X=k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$

Para calcular la probabilidad, tengo que sustituir los valores de $n$ y $p$ en la ecuación anterior y para cada caso los valores de $k$ de $0$ a $2$ .

Editar 2:

$P(X\ge3)=1-P(X<3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))= 1-0.981=0.019$ (de la calculadora), entonces ¿cómo puedo formular una hipótesis relevante?

Answer 1

Una pista:

@lulu tiene razón en que esto se responde más directamente utilizando la distribución binomial. Aquí está la salida (ligeramente editado para relevancia) del procedimiento de prueba binomial procedimiento de prueba binomial de Minitab.

Como esto parece ser un problema de tarea, se lo dejaré a usted interpretar el valor P y averiguar cómo se ha obtenido obtenido a partir de la distribución $\mathsf{Binom}(n=1000,\,p=0.001).$

Test for One Proportion 

Test of p = 0.001 vs p > 0.001

                                Exact
Sample  X     N   Sample p    P-Value
1       3  1000   0.003000      0.080

---

Nota: Tu idea de utilizar la aproximación de Poisson a la distribución binomial no es errónea. Sin embargo, supongo que el ejercicio pretende que utilices la binomial.

La distribución de Poisson que aproxima $\mathsf{Binom}(n=1000,\,p=0.001)$ es $\mathsf{Pois}(\mu = 1).$ (La aproximación es muy buena.) Si $X$ tiene esta distribución de Poisson, se esperaría ver una bombilla defectuosa: $E(X)=1.$ Pero ha visto tres bombillas defectuosas. Eso es más de lo esperado; la pregunta es si es suficiente más de lo esperado para ser llamado "estadísticamente significativo" al nivel del 5%. ¿Puede encontrar $P(X \ge 3)?$

El siguiente gráfico compara los PDF de $\mathsf{Binom}(n=1000,\,p=0.001)$ y $\mathsf{Pois}(\mu = 1).$

Adenda: De R: x = 0:4; pois.pdf = dpois(x,1); bino.pdf = dbinom(x, 1000, .001); cbind(x, pois.pdf, bino.pdf) retornos (ignorar los números de línea entre paréntesis):

     x   pois.pdf   bino.pdf
[1,] 0 0.36787944 0.36769542
[2,] 1 0.36787944 0.36806349
[3,] 2 0.18393972 0.18403174
[4,] 3 0.06131324 0.06128251
[5,] 4 0.01532831 0.01528996