Encuentre una expresión de forma cerrada para $\binom n1+3\binom n3+5\binom n5+\cdots ,$ donde $n > 1$ .

Question

Encuentre una expresión de forma cerrada para $$\binom n1+3\binom n3+5\binom n5+\cdots ,$$ donde $n > 1$ . Puede encontrar la identidad $k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}$ útil.

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Tengo $2^{n-2}$ ¡pero estaba mal! No sé dónde calculé mal...

Answer 1

Considere $$(1+x)^n=1+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+\binom{n}{3}x^3+\binom{n}{4}x^4+\cdots$$ Diferenciando con respecto a $x$ , $$n(1+x)^{n-1}=\binom{n}{1}+2x\binom{n}{2}+3x^2\binom{n}{3}+\cdots$$ Poner $x=1$ , $$n2^{n-1}=\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}+\cdots\tag1$$ Poner $x=-1$ , $$0=\binom{n}{1}-2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}-+\cdots\tag2$$ Tomando $\frac{(1)+(2)}{2}$ , $$\binom{n}{1}+3\binom{n}{3}+5\binom{n}{5}+\cdots=n2^{n-2}$$