Actualmente estoy buscando cada punto $\frac{1}{z \bar{z}}$ es holomorfo. ¿Podría utilizar el hecho de que $\frac{1}{z}$ es holomorfo excepto en el punto $z=0$ . ¿Tengo que utilizar el teorema de Cauchy-Riemann para resolverlo?
Respuesta
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Podemos demostrar que $f(z)=\frac1{z\bar z}$ no es analítica en ninguna parte sin apelar a las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Para proceder, encontramos que el cociente de diferencias $\frac{\Delta f(z)}{\Delta z}$ puede escribirse como
$$\begin{align} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}&=\frac{\frac{1}{|z+\Delta z|^2}-\frac1{|z|^2}}{\Delta z}\\\\ &=\left(\frac{|z|^2-|z+\Delta z|^2}{\Delta z}\right)\left(\frac{1}{|z|^2\,|z+\Delta z|^2}\right)\\\\ &=\left(\frac{-|\Delta z|^2-\bar z\Delta z-z\overline{\Delta z}}{\Delta z}\right)\left(\frac{1}{|z|^2\,|z+\Delta z|^2}\right)\\\\ \end{align}$$
Es fácil ver que $\lim_{\Delta z\to 0}\frac{|\Delta z|^2}{\Delta z}=0$ y $\lim_{\Delta z\to 0}\frac{\bar z\Delta z}{\Delta z}=\bar z$ .
Sin embargo, $\lim_{\Delta z\to 0}\frac{\overline {\Delta z}}{\Delta z}$ no existe ya que si el límite se aproxima a lo largo de $\Delta z=\Delta x\to 0$ entonces
$$\lim_{\Delta z\to 0}\frac{\overline {\Delta z}}{\Delta z}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1 \tag 1$$
mientras que si el límite se aproxima a lo largo de $\Delta z=i\Delta y \to 0$ entonces
$$\lim_{\Delta z\to 0}\frac{\overline {\Delta z}}{\Delta z}=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{-i\Delta y}{i\Delta y}=-1 \tag 2$$
Dado que los límites en $(1)$ y $(2)$ no son iguales, entonces el límite $\lim_{\Delta z\to 0}\frac{\overline {\Delta z}}{\Delta z}$ no existe.
Por lo tanto, concluimos que $f$ no es diferenciable en ninguna parte y, por tanto, no es analítica en ninguna parte.
